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Vamos dar dois exemplos onde naturalmente encontramos a função exponencial. A função exponencial satisfaz a seguinte propriedade:

$  f(x+y)= f(x) f(y)$

Depois mostraremos que toda função contínua que satisfaz a condição acima é de fato uma função exponencial.

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Decaimento radioatívo
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Elementos radioativos transformam em outros elementos ao longo do tempo. É importante saber a quantidade que permanece (não transformou) após um determinado tempo $  t  $.

Suponhamos $  M(t)  $ representar a fração da materia (de uma unidade de massa) que sobra após passar o tempo $  t  $. Vamos assumir que $  M(t)  $ é uma função contínua de $  t  $ e $  M(0)=1,   0 < M(t) < 1  $ para todo $  t > 0  $.

Se iniciarmos com $  A  $ unidades de massa, ficaremos com $  AM(t)  $ de material radioativo inicial depois de tempo $  t  $.

Qual será a quantidade de material após tempo $  s+t  $? Vamos calcular de duas formas diferentes:

Primeiramente  pela definição a quantidade sobrada é é $  AM(s+t)  $. Por outro laso após o tempo $  s  $ a quantidade é $  AM(s)  $ e em seguida vamos calcular a quantidade da materia quando passa tempo $  t  $ e chegaresmo ao valor $  AM(s)M(t)  $. Portanto:

$  M(s+t)=M(s)M(t)  $       (1)

Observe que $  M(x) < 1  $ para todo $  x >0  $ e portanto concluimos que

$  \lim_{x \rightarrow 0} M(x) =0  $ (verifique isto!)

Sabemos que $  M(0)=1  $ e portanto pelo teorema do valor intermediário concluímos que existe $  h>0  $ tal que $  M(h) = \frac{1}{2}  $.

Observe que usando (1) concluímos que $  M(t+h)=\frac{1}{2}M(t)  $. Isto significa que começando em qualquer tempo $  t  $, após passar tempo $  h  $ a quantidade de materia é dividida por dois. Este tempo é chamado de meia vida.

Por exemplo a meia vida de carbono-14 é de 5730 anos.

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Crescimento de bactérias

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Suponhamos que $  P(t)  $ é o tamanho da população bacteriana (começando no tempo zero por um abacteria) no tempo $  t  $.

Assumimos que $  P  $é uma função contínua e $  P(0)=1  $ e $  P(t)> 1  $ para todo $  t>0.  $

Se fornecemos nutriente e as bacterias não competirem entre se e tivermos espaço suficiente para crescimento das bacterias. É razoável esperar que nestas circunstâncias a população da colonia é proporcional a população inicial, ou seja

tamanho da população no tempo $  t = A P(t)  $ onde $  A  $ é o tamanho inicial.

Argumentando similar ao caso de decaimento radioatívo concluímos

$  P(s+t) = P(t)P(s).  $ (2)

Já que $  P(t) > 1  $ para $  t > 0  $ podemos usar a relação (2) e concluir que $  \lim_{x \rightarrow \infty} P(x) = \infty  $ e pelo teorema do valor intermedíario deve existir $  d  $ tal que $  P(d)=2.  $ Novamente usando a relação (2) concluímos que para qualquer $  t  $ temos:

$  P(t+d) = 2P(t)  $

ou seja $  d  $ é o tempo de dobra!

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Casamento de Álgebra e Análise
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Vamos mostrar que toda função contínua $  f  $ satisfazendo:

$  f(x+y)=f(x)f(y) , a=f(1)>0  $

deve ser uma função exponencial, $  f(x)=a^x.  $

Para começar vamos substituir $  x=y  $ na equação (2). Portanto

$  f(2x)= f(x)f(x) = f(x)^2  $

Agora se colocarmos $  y=2x  $ na equação (2) concluímos

$  f(3x)=f(2x+x) = f(2x) f(x) = f(x)^2 f(x)=f(x)^3  $ e continuando desta forma podemos provar que para todo $  x  $:

$  f(nx)=f(x)^n  $ (3)

Se $  x=1  $ a equação (3) implica que $  f(n) = f(1)^n = a^n  $.

Agora se colocarmos $  x=\frac{1}{n}  $ na equação (3) temos $  f(1) = f(\frac{1}{n})^n  $ e portanto $  f(\frac{1}{n}) = a^{1/n}.  $

Agora considere $  x=\frac{1}{m}  $ na equação (3). Logo

$  f(\frac{n}{m}) = a^{n/m}  $. Até agora temos provado que para qualquer número racional $  r >0  $ vale $  f(r) = a^r.  $

Já que $  f  $ é uma função contínua, para todo número irracional $  \alpha >0  $ também temos $  f(\alpha) = a^{\alpha}  $

É um exercício provar $  f(x) = a^x  $ para $  x <0  $ também.

Exponencial é mais forte de qualquer polinomial!

Teorema: Para qualquer $  a > 1  $ a função $  a^x  $ cresce mais rápido de que qualquer $  x^k  $ quando $  x  $ tende ao infinito, $  k=0, 1,2,3, \cdots  $. Isto siginifica que para qualquer $  k \in \mathbb{N}  $:

$  \lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{a^x}{x^k} = +\infty  $ ou equivalentemente

$  \lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{x^k}{a^x} = 0  $

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O caso mais simples é quando $  k=0  $. De fato para isto basta provar que $  \lim_{x \rightarrow +\infty} a^x = +\infty.  $

Caso $  k= 1 $: Definimos $  f(x) = \frac{a^x}{x}  $ e temos:

$  f(x+1) = \frac{a^{x+1}}{x+1} = \frac{a^x}{x} \frac{a}{1+\frac{1}{x}}   $  (4)

Afirmamos que para $  x  $ grande o suficiente, o fator $  \frac{a}{1+\frac{1}{x}}  $ é maior do que 1. Por efeito, $  a > 1 + \frac{1}{m}  $ para algum número $  m  $. Seja $  b = \frac{a}{1+ \frac{1}{m}}  $. Agora para todo $  x>m  $ temos

$  \frac{a}{1+\frac{1}{x}} \geq \frac{a}{1+ \frac{1}{m}} = b > 1.  $ Juntando isto com a relação (4) temos:

$  f(x+1) \geq f(x)b.  $

$  f(x+2) \geq f(x)b^2   $, ..... $  f(x+n) \geq f(x)b^n  $

Agora, qualquer número grande $  X  $ pode ser escrito como soma de dois números, um dos quais pertence ao intervalo $  [m, m+1]  $ e o outro é um número inteiro $  n  $.  Denotamos por $  M \neq 0  $ o mínimo da função no intervalo $  [m, m+1]  $. Então:

$  f(X) = f(x + n) \geq f(x) b^n \geq M b^n  $

Dado que $  b > 1  $ concluímos que $  f(X) \rightarrow \infty  $ quando $  X \rightarrow \infty  $.

Caso $  k > 1  $: Precisamos achar $  s  $ tal que $  s^k =a  $ e ai temos:

$  \frac{a^x}{x^k}=(\frac{s^x}{x})^k    $

e usamos o caso $  k=1  $ para concluir a demonstração.

Exemplo Diferente: Calcule $  \lim_{x \rightarrow - \infty} \frac{a^x}{x^5}.$

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