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Simpsons e Fourier:
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Teorema de Parseval:

Lembramos que se $\{e^{inx}\}$ é um conjunto ortonormal enumerável. Vamos considerar funções periodicas de perído $2 \pi$. De fato  basta considerarmos funções contínuas definidas em $[-\pi, \pi].$ Portanto pela aula anterior e usando produto $<f, g> = \frac{1}{2 \pi} \int_{-\pi}^{\pi} f \bar{g} dx$ temos:
$$
 \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} |f - s_N|^2 dx = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} |f|^2 dx - \sum_{m=-N}^{N} |c_m|^2.
$$
Em particular concluímos que $f \in L^2$ temos Desigualdade de Bessel: $$\sum_{m=-\infty}^{\infty} |c_m|^2 < \infty.$$
Na demonstração do teorema abaixo usamos também: $\|s_N (s)\|_2 \leq \|f\|_2$. Lembrando que $\|f\|_2 = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} (\int_{-\pi}^{\pi} |f(x)|^2)^{1/2} dx$
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Teorema de Parseval
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Sejam $f, g : [-\pi, \pi] \rightarrow \mathbb{R}$ funções Rieman integráveis e $f(x) \sim \sum_{-\infty}^{\infty} c_n e^{inx}, g(x) \sim \sum_{-\infty}^{\infty} \gamma_n e^{inx} $ respectivas séries de Fourier. Então:
  - $\lim_{N \rightarrow \infty} \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} |f(x)- S_N(f, x)|^2 dx = 0.$
  - $\frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \overline{g}(x) dx = \sum_{-\infty}^{\infty} c_n \overline{\gamma}_n$
  - $\frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} |f(x)|^2  dx = \sum_{-\infty}^{\infty} |c_n|^2.$

Observe que a terceira afirmação é consequência imediata da segunda, assumindo $f=g.$

Para primeira, primeiramente vamos aproximar uma função integrável por uma função contínua. Para facilitar vamos supor desde início que $f$ é contínua. Agora usamos teorema de Stone-Weierstrass
considerando funções trigonométricos como uma álgebra de funções que separa e não anula.
Isto é para qualquer $\epsilon > 0$ existe uma função de tipo $P:= \sum_{n=-N_0}^{N_0} d_m e^{inx}$ tal que $\| f- P\|_2 \leq \epsilon.$ Pelo resultado anterior, para qualquer $N \geq N_0$ 
$$
 \| f - S_{N}f\| \leq \| f - P\| \leq \epsilon.
$$
Por efeito, $P$ pode ser completado $P:= \sum_{n=-N}^{N} d_m e^{inx}$ apenas considerando $d_m = 0, |m| > N_0.$
Agora observe que 
$$
 \|S_N f - f \|_2 \leq \|S_N f - S_N P\|_2 + \|S_N P - f\|_2 = \|S_N(f-P)\|_2 + \|S_N P - f\|_2
$$

e finalmente $\|s_N (f- P)\|_2 \leq \|f-P\|_2 \leq \epsilon$

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