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Convergência Pontual e Uniforme, continuidade de limite de funções

Após definir convergência pontual e uniforme mostramos que o limite uniforme de uma sequência de funções contínuas é contínua.

<WRAP  round tip 60%>
Seja $f_n: [a,b] \rightarrow \mathbb{R}$ convergindo uniformemente a $f$ e $f_n$ contínuas então $f$ é contínua. 
</WRAP>

Provamos uma recíproca parcial do resultado acima também.

<WRAP  round tip 60%>
Teorema de Dini: Seja $f_n$ uma sequência  de funções contínuas que convergem monotonamente a função contínua $f$, então a convergência é uniforme. 
</WRAP>

Finalmente demonstramos que a integral e limite uniforme também se trocam! Limite de integral é igual integral do limite uniforme!
<WRAP  round tip 60%>
Sejam $f_n : [a, b] \rightarrow \mathbb{R}$ integrável e $f_n$ convergindo uniformemente a $f$, então $f$ é integrável e além disso $\lim_{n \rightarrow \infty} \int_{[a,b]} f_n (x) dx = \int_{[a,b]} f (x) dx$
</WRAP>

Não é dificil construir sequências que não convergem uniformemente (apenas convergem pontual) e que o limite e integral não comutam.

No video na demonstração de troca de integral com limite, tem um "typo". Abaixo temos a correção (seguindo livro do Elon Lima):

Demonstração (comutatividade entre integral e limite uniforme): Dado $\epsilon > 0$ existe $n_0$ tal que para $n > n_0$ temos 
$|f_n(x) - f(x)| \leq \frac{\epsilon}{4 (b-a)} $ para todo $x \in [a, b].$

Fixamos $m > n_0$. Como $f_m$ é integrável existe uma partição $\mathcal{P}$ tal que se denotarmos de $\omega_i, \omega_i^{'}$ a oscilação de $f$ e $f_m$ no intervalo $[t_{i-1}, t_i]$ então temos
$ \sum \omega_i^{'} (t_{i}- t_{i-1}) < \frac{\epsilon}{2}.$

Por outro lado, para quaiquer $x, y \in [t_{i-1}, t_i]$
 temos:
$$
|f(y)-f(x)| \leq  |f(y)-f_m(y)| + |f_m(y)-f_m(x)| + |f_m(x) - f(x)|\leq \omega_i^{'} + \frac{\epsilon}{2(b-a)}
$$
portanto $\omega_i \leq \omega_i^{'} + \frac{\epsilon}{2(b-a)} $
e somando sobre todos os i's temos

$$ 
\sum \omega_i (t_i - t_{i-1}) \leq \omega_i^{'} (t_i - t_{i-1}) + \frac{\epsilon}{2(b-a)} \sum (t_i - t_{i-1})$$
$$
\leq \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2}= \epsilon.
$$

Assim demonstramos que $f$ é integrável. Agora para $n > n_0$ temos:
$$

|\int f(x) dx – \int f_n(x) dx = |\int_{a}^{b} [f(x) - f_n(x)] dx|$$
$$
 \leq \int_{a}^{b} | f(x) - f_n( x) | dx \leq \frac{(b-a)\epsilon}{4(b-a)} < \epsilon.
$$
Portanto provamos o que afirmamos.

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