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====== Prova de Análise II, ICMC-USP (05/2022) ======

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- Sejam $f_n : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ uma sequência de funções uniformemente contínuas e $f_n$ convergir uniformemente a $f.$ É correto afirmar que $f$ também é uniformemente contínua?
  - Se $f: [0,1] \rightarrow \mathbb{R}$ possuir anti-derivada, então $f$ é Riemann integrável? É correto dizer que existe $g$ tal que $g^{'}=f$ e portanto pelo teorema fundamental de cálculo $g = \int f$, ou seja $f$ é integrável?
  - Sejam $f, g $ respectivamente as funções características de $[1, 4]$ e $[2, 5].$ As derivadas  $f^{'}$ e $g^{'}$ existem exceto um conjunto de medida nula (alías apenas não tem derivada nas fronteiras dos intervalos). Pela integração por partes temos: $$ \int_{0}^{3} f(x) g^{'}(x)dx = f(3)g(3) - f(0)g(0) - \int_{0}^{3} f^{'}(x) g(x)dx$$ as integrais acima são nulas. Enquanto $f(3)g(3) - f(0)g(0) = 1.$ Encontre o erro.
  - Sejam $f_n : [1, \infty) \rightarrow \mathbb{R}, f_n(x) = \frac{x}{1+x^n}.$ É correto afirmar que $f_n| [1, \infty]$ converge uniformemente? Podemos aplicar o teorema de Arzela Ascoli para provar que para $a > 1$ fixo, $f_n| [a, \infty )$ converge uniformemente?
  - Use Teste de Weierstrass para mostrar que a série $\sum_{n \geq 1} x^n e^{-nx}$ converge uniformemente em $x \geq 0.$

Gabarito:

1. Pela convergência uniforme dado $\epsilon > 0$ existe $N$ tal que para todo $n \geq N$ temos $\|f-f_n\| \leq \epsilon/3$. Pela continuidade uniforme de $f_N$ existe $\delta > 0 $. tal que se $|x-y| < \delta$ então $|f_N(x)-f_N(y)| \leq \epsilon/3.$ Agora basta usar argumento $3 \times \frac{\epsilon}{3}:$
$$
 |f(x)-f(y)| \leq |f(x)-f_N(x)|+ |f_N(x)-f_N(y)|+|f_N(y)-f(y)| \leq \epsilon.
$$

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