✎ analise2:exercicio2 []

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1. Sejam $f_n: [a, b] \rightarrow \mathbb{R}$ e $f_n$ convergir uniformemente a $f.$ Quais das seguintes propriedades de descontinuidade passa de $f_n$ para $f$. Dê exemplo ou prove.

a. Não ter descontinuidade. isto é: Se $f_n$ não ter nenhum ponto de descontinuidade então $f$ também não tem ponto de descontinuidade.

b. No máximo 10 pontos de descontinuidades.

c. Pelo menos 10 pontos de descontinuidades.

d. Ter uma quantidade enumerável de descontinuidades.

2. Seja $(g_n)$ uma sequência de funções duas vezes diferenciáveis definidas no intervalo $[0,1].$ Suponhamos que para todo $n, g_n(0) = g_n^{'}(0)$ e que para todo $x \in [0, 1], |g_n^{'}(x)| \leq 1.$ Prove que existe uma subsequência de $g_n$ convergindo uniformemente.

3. Seja $k \geq 0$  um número inteiro e definimos $f_n : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$
$$
 f_n(x) = \frac{x^k}{x^2 + n}.
$$
Para quais valores de $k$ a sequência converge uniformemente em $\mathbb{R}?$

4.  Dê exemplo de uma série de potências $\sum_{n=0}^{\infty} c_n x^n$ com raio de convergência $R=1$ tal que a série converge em $x=1$ e não converge em $x=-1.$

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