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-Convergência Pontual e Uniforme, continuidade de limite de funções
-{{youtube>4F8rBwc7H_8?small}}
-Teorema de Dini, Troca de limite com integral
-{{youtube>lFCunXqgr2g?small}}
-No video na demonstração de troca de integral com limite, tem um "typo". Abaixo temos a correção (seguindo livro do Elon Lima):
-Teorema: Seja $f_n: [a, b] \rightarrow \mathbb{R}$ uma sequância de funções integráveis convergindo uniformemente a $f.$ Então $f$ é integrável e
-$$
- \int_{a}^{b} f(x) dx = \lim_{n \rightarrow \infty} \int_{a}^{b} f_n(x) dx.
-$$
-Demonstração: Dado $\epsilon > 0$ existe $n_0$ tal que para $n > n_0$ temos
-$|f_n(x) - f(x)| \leq \frac{\epsilon}{4 (b-a)} $ para todo $x \in [a, b].$
-Fixamos $m > n_0$. Como $f_m$ é integrável existe uma partição $\mathcal{P}$ tal que se denotarmos de $\omega_i, \omega_i^{'}$ a oscilação de $f$ e $f_m$ no intervalo $[t_{i-1}, t_i]$ então temos
-$ \sum \omega_i^{'} (t_{i}- t_{i-1}) < \frac{\epsilon}{2}.$
-Por outro lado, para quaiquer $x, y \in [t_{i-1}, t_i]$
- temos:
-$$
-|f(y)-f(x)| \leq  |f(y)-f_m(y)| + |f_m(y)-f_m(x)| + |f_m(x) - f(x)|\leq \omega_i^{'} + \frac{\epsilon}{2(b-a)}
-$$
-portanto $\omega_i \leq \omega_i^{'} + \frac{\epsilon}{2(b-a)} $
-e somando sobre todos os i's temos
-$$
-\sum \omega_i (t_i - t_{i-1}) \leq \omega_i^{'} (t_i - t_{i-1}) + \frac{\epsilon}{2(b-a)} \sum (t_i - t_{i-1})$$
-$$
-\leq \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2}= \epsilon.
-$$
-Assim demonstramos que $f$ é integrável. Agora para $n > n_0$ temos:
-$$
- |\int f(x) dx – \int f_n(x) dx = |\int_{a}^{b} [f(x) - f_n(x)] dx|$$
-$$
- \leq \int_{a}^{b} | f(x) - f_n( x) | dx \leq \frac{(b-a)\epsilon}{4(b-a)} < \epsilon.
-$$
-Portanto provamos o que afirmamos.