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-A derivada de uma função $f: U \subset \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m$ quando existir é uma função
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- Df : U \rightarrow \mathcal{L}(\mathbb{R}^n , \mathbb{R}^m).
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-Portanto se $Df$ for diferenciável dizemos que $f$ é duas vezes diferenciável e
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- D^2f : U \rightarrow \mathcal{L} (\mathbb{R}^n, \mathcal{L}(\mathbb{R}^n , \mathbb{R}^m)).
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-Ou seja para cada ponto $p \in U$ a segunda derivada é uma transformação linear de $\mathbb{R}^n$ em $\mathcal{L}(\mathbb{R}^n , \mathbb{R}^m).$ Podemos olhar a essa transformação linear como uma transformação bilinear também:
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-D^2f_p (v, w) := (D^2f_p (v))(w).
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-Lembramos que se $f: U \rightarrow \mathbb{R}$ é uma função real e diferenciável então $$ Df_p(e_i) = \frac{\patial f}{\partial x_i}(p) = \lim_{t \rightarrow 0} \frac{f(p+te_i) - f(p)}{t}.$$
-Teorema: Seja $f: U \rightarrow \mathbb{R}^m$, $f= (f_1, \cdots, f_m)$ duas vezes diferenciável então $f_k$ são duas vezes diferenciáveis e além disto:
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- D^2f_p (e_i, e_j) = \frac{\partial^2 f}{ \partial x_i \partial x_j}(p).
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-Teorema: A segunda derivada quando existir é simetrica, i.e $D^f_p(v, w) = D^f_p(w, v)$ e em particular as derivadas parciais comutam:
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-\frac{\partial^2 f}{ \partial x_i \partial x_j}(p)= \frac{\partial^2 f}{ \partial x_j \partial x_i}(p)
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