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 Então vamos analisar apenas quando $  x> 0, y>0 $ (por simetria).
-$  \nabla f(x,y)=(\frac{y(y^2 +1 - x^2)}{(x^2+y^2+1)^2}, \frac{x(x^2+1-y^2)}{(x^2+y^2+1)^2})$
+$  \nabla f(x,y)=\left(\frac{y(y^2 +1 - x^2)}{(x^2+y^2+1)^2}, \frac{x(x^2+1-y^2)}{(x^2+y^2+1)^2}\right)$
-Verifique que não existe nenhum ponto crítico em $  x > 0, y > 0 $ pois as curvas $  x^1+1=y^2, y^2+1=x^2 $ não se cruzam.
+Verifique que não existe nenhum ponto crítico em $  x > 0, y > 0 $ pois as curvas $  x^2+1=y^2, y^2+1=x^2 $ não se cruzam.
-Observe também que $  \frac{|xy|}{x^2+y^2+1} < \frac{1}{2} $ e o limite ao longo da reta $  y=x $ uando $  x\rightarrow \infty $ é $  \frac{1}{2} $ e portanto não temos máximo.
+Observe também que $  \frac{|xy|}{x^2+y^2+1} < \frac{1}{2} $ e o limite ao longo da reta $  y=x $ quando $  x\rightarrow \infty $ é $  \frac{1}{2} $ e portanto não temos máximo.
-<color #22b14c>Em geral parece difícil achar máximo/mínimo ao longo de uma curva fronteira. O método de Lagrange é poderoso para tratar este problema!</color>
+<color #22b14c>Em geral parece difícil achar máximo/mínimo ao longo da fronteira de uma curva. O **método de Lagrange** é poderoso para tratar este problema!</color>
 ====== Método de Lagrange ======
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 Queremos achar o máximo de uma função $  f: U \rightarrow \mathbb{R} $ restrita ao conjunto $  M. $
-Suponhamos que $  a $ um máximo ou mínimo local da restrição da $  f $ a $  M $ e que $  a $ não seja um ponto crítico de $  g $. Então $  \nabla f(a) $ é ortogonal a $  M$ no ponto $  a. $ Portanto já que $  a $ não é crítico para $  g $ temos:
+Suponhamos que $  a $ é um máximo ou mínimo local da restrição de $  f $ a $  M $ e que $  a $ não seja um ponto crítico de $  g $. Então $  \nabla f(a) $ é ortogonal a $  M$ no ponto $  a. $ Portanto, já que $  a $ não é crítico para $  g $, temos:
 $  \nabla f(a) = \lambda \nabla g(a). $
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 Pela **regra da cadeia**:
-$  0 = \nabla f(\gamma(0)) . \gamma^{'}(0) = \nabla f (a) . v = 0. $
+$  0 = \nabla f(\gamma(0)) \cdot \gamma^{'}(0) = \nabla f (a) \cdot v = 0. $
-Portanto o vetor gradiente $  \nabla f (a) $ é ortogonal a $  M $ e lembre que $  \nabla g (a) $ também é ortognal a $  M $ e consequentemente, os dois vetores gradientes são paralelos:
+Portanto o vetor gradiente $  \nabla f (a) $ é ortogonal a $  M $ e lembre que $  \nabla g (a) $ também é ortogonal a $  M $ e consequentemente, os dois vetores gradientes são paralelos:
 $  \nabla f (a) = \lambda \nabla g (a). $
-**Teorema:** Seja $  a $ um ponto max/min da função $  f $ restrita ao conjunto $  M= \{g=0\} $ e suponhamos que $  a $ não seja um ponto crítico da $  g. $ Então $  \nabla f (a) $ é ortogonal a $  M $ no ponto $  a. $  Já que $  \nabla g (a) \neq 0 $ portanto existe $  \lambda \in \mathbb{R} $ tal que $  \nabla f (a) = \lambda \nabla g (a). $
+**Teorema:** Seja $  a $ um ponto de máximo ou mínimo da função $  f $ restrita ao conjunto $  M= \{g=0\} $ e suponhamos que $  a $ não seja um ponto crítico de $  g. $ Então $  \nabla f (a) $ é ortogonal a $  M $ no ponto $  a. $  Já que $  \nabla g (a) \neq 0 $, existe $  \lambda \in \mathbb{R} $ tal que $  \nabla f (a) = \lambda \nabla g (a). $
-<color #ff7f27>**Duas interpretação super intuitivas e honestas:**</color>
+<color #ff7f27>**Duas interpretações super intuitivas e honestas:**</color>
 Para achar máximo/mínimo de $  f $ no conjunto $  M $ vamos imaginar indivíduos morando no conjunto $  M. $ Estes indivíduos não tem noção do mundo externo $  \mathbb{R}^n $ e já que $  \nabla g (a)\neq 0 $, o mundo deles localmente parece com $  \mathbb{R}^{n-1}. $ Se o ponto $  a $ é máx/min para eles, deve ser um ponto crítico. Porém o que é o gradiente da função restrita ao mundo deles?????
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 Agora vamos abordar de outra forma, usando um exemplo explícito:
-Considere superfície dada por $  M:=\{g=c\} $ e $  p=(p_1, \cdots, p_n) $ um ponto fora do conjunto $  M. $ Ache os pontos no conjunto $  M $ que minimizam (ou pelo menos localmente minimizam) a distância até o ponto $  p. $
+Considere a superfície dada por $  M:=\{g=c\} $ e $  p=(p_1, \cdots, p_n) $ um ponto fora do conjunto $  M. $ Ache os pontos no conjunto $  M $ que minimizam (ou pelo menos localmente minimizam) a distância até o ponto $  p. $
 Imagine um balão com centro $  p $ sendo enchido até tocar pela primeira vez o conjunto $  M. $ A ideia intuitiva é que sob certas hipóteses de regularidade, no ponto $  (x_1, \cdots x_n) $ em que a esfera toca $  M $ o vetor gradiente $  \nabla g (x_1,\cdots, x_n) $ é paralelo ao vetor $  (x_1-p_1, \cdots x_n-p_n)$. Por outro lado a função que estamos interessados a minimizar é a função quadrada de distância:
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 <color #ed1c24>**Exercícios:**</color>
-Curva de Whatsapp
+**Curva de Whatsapp**
 $  f(x, y) = y^2 -x^3 -x^2 -x$. Usando multiplicadores de Lagrange achamos os pontos no círculo $  x^2+y^2=1$ que maximizam/minimizam a função $  f.$
-<color #22b14c>Essa função foi inspirada por curva elíptica usada pelo Whatsapp ($  y^2=x^3 + 486662x^2 +x$)  sobre o número primo $  2^{255}-19.$</color>
+<color #22b14c>Essa função foi inspirada pela curva elíptica usada pelo Whatsapp ($  y^2=x^3 + 486662x^2 +x$)  sobre o número primo $  2^{255}-19.$</color>
 **Entropia**
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 <color #ed1c24>Exemplo:</color> Queremos construir caixa retangular sem tampa com área total 12. Quais devem ser as dimensões para que o volume seja máximo?
-$  A= xy + 2xz + 2yz =12$ é a área da caixa sem tampa. Queremos maximizar $  V(x, y,z)=xyz $.
+$  A= xy + 2xz + 2yz =12$ é a área da caixa sem tampa. Queremos maximizar $  V(x,y,z)=xyz $.
 **Mais de um vínculo**
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 Vamos enunciar com 2 restrições:
-**Teorema:** Seja $  (x_0, y_0, z_0) $ um ponto extremo de $  f $ uma função $  C^1 $ sujeito restrições  $  g(x, y, z)=0 $ e $  h(x, y,z)=0 $ onde $  h, g $ são funções $  C^1 $ e $  \nabla g (x_0,y_0, z_0) , \nabla h (x_0, y_0, z_0) $ são vetores linearmente independentes então existem $  \lambda, \mu \in \mathbb{R} $ tais que
+**Teorema:** Seja $  (x_0, y_0, z_0) $ um ponto extremo de $  f $ que é uma função $  C^1 $ sujeita às restrições  $  g(x, y, z)=0 $ e $  h(x, y,z)=0 $ onde $  h, g $ são funções $  C^1 $ e $  \nabla g (x_0,y_0, z_0) , \nabla h (x_0, y_0, z_0) $ são vetores linearmente independentes. Então existem $  \lambda, \mu \in \mathbb{R} $ tais que
 $  \nabla f (x_0, y_0, z_0) = \lambda \nabla g (x_0, y_0, z_0) + \mu \nabla h (x_0, y_0, z_0). $
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 $  \nabla f (x, y) =(1, 0) $ e portanto não existe $  \lambda \in \mathbb{R} $ tal que $  \nabla f (0, 0) = \lambda \nabla g (0, 0). $
-<color #ed1c24>Exemplo:</color> Considere seguintes restrições
+<color #ed1c24>Exemplo:</color> Considere as seguintes restrições:
-$  g(x, y, z) = x^6 - z =0, h(x, y, z) = y^3 - z=0. $ Observe que a interseção destes dois conjuntos de nível é uma curva com seguinte parametrzação:
+$  g(x, y, z) = x^6 - z =0, h(x, y, z) = y^3 - z=0. $ Observe que a interseção destes dois conjuntos de nível é uma curva com a seguinte parametrização:
-$  S: x \rightarrow  (x, x^2, x^6), x \in \mathbb{R}. $ Agora considere $  f: \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}, f(x, y, z) =y. $ Observe que o ponto $  (0, 0, 0) $ é mínimo e vamos verificar se satisfaz conclusão do teorema de Lagrange:
+$  S: x \rightarrow  (x, x^2, x^6), x \in \mathbb{R}. $
+Agora considere $  f: \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}, f(x, y, z) =y. $ Observe que o ponto $  (0, 0, 0) $ é mínimo e vamos verificar se satisfaz a conclusão do teorema de Lagrange:
 $  \nabla f (0, 0, 0) = (0, 1, 0), \nabla g(0, 0 ,0)= (0,0,-1) = \nabla h(0,0,0) $ e portanto $  \lambda \nabla g + \mu \nabla h(0, 0, 0) = (0,0,-\lambda -\mu) $ que não pode ser igual ao vetor $  (0, 1, 0) $.