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-Suponhamos $  f: S \subset \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$ e objetivo é achar máximo ou mínimo absoluto (global) da função (no conjunto $  S $).
+====== Extremos absolutos (globais) ======
-Como já discutimos, se o ponto máximo ou mínimo estiver no interior do conjunto $  S $ necessariamente este ponto tem que ser um ponto crítico (se a função for diferenciável). Porém, precisamos verificar os pontos da fronteira (em S) e os pontos onde a função não é diferenciável para achar máximo/mínimo global.
+Vimos que podemos localizar e identificar os tipos dos extremos locais de uma função em pontos no interior do seu domínio. Agora queremos saber como identificar no domínio inteiro.
+**Definição:** Um conjunto $D\subset \mathbb{R}^2$ é compacto se é fechado e limitado.
+Temos que:
+$(a,b)$ é um <color #ed1c24>máximo absoluto</color> de $f(x,y)$ em $D$ se $f(x,y)\leq f(a,b)$ para todo $(x,y)$ em $D$.
+$(a,b)$ é um <color #ed1c24>mínimo absoluto</color> de $f(x,y)$ em $D$ se $f(x,y)\geq f(a,b)$ para todo $(x,y)$ em $D$.
+$(a,b)$ é um <color #ed1c24>extremo absoluto</color> de $f(x,y)$ em $D$ se é máximo ou mínimo absoluto de $f$ em $D$.
+**Teorema (Weierstrass):** Seja $f$ uma função contínua em um compacto $D\subset\mathbb{R}^n$. Então existem pontos $p_1$ e $p_2$ em $D$ tais que
+$
+f(p_1)\leq f(x) \leq f(p_2)
+$
+para todo $x$ em $D$.
+Dada $f$ uma função contínua em uma região compacta $D$ de $\mathbb{R}^2$, o teorema de Weierstrass nos diz que $f$ possui um máximo e um mínimo absoluto em $D$.
+Suponhamos que $f$ e suas derivadas parciais de primeira e segunda ordem existem e são contínuas no interior de $D$ e na fronteira de $D$.
+Para acharmos os extremos absolutos de $f$ em $D$:
+**1)** Listamos os pontos interiores de $D$ onde $f$ tem máximos ou mínimos locais e calculamos $f$ nesses pontos.
+**2)** Listamos os pontos da fronteira de $D$ onde $f$ tem máximos ou mínimos locais e calculamos $f$ nesses pontos.
+**3)** Comparamos todos e achamos os valores máximo e mínimo absolutos de $f$ em $D$.
 Observação:
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   * Se $  S  $ não for limitado ou não contem alguns de seus pontos de fronteira, é possível que $  f $ não tenha máximo ou mínimo global. Nestes casos, precisamos analisar o comportamento da função quando $  \|x\| \rightarrow \infty$ ou quando $  x $ converge a fronteira do conjunto $  S. $
-<color #ed1c24>Exemplos:</color>
+<color #ed1c24>**Exemplos:**</color>
-Ache o máximo/mínimo da fução dada por $  f(x, y)=x^2+y^2+x $ na região $  x^2 + y^2 \leq 1. $
+Ache o máximo/mínimo da função dada por $  f(x, y)=x^2+y^2+x $ na região $  x^2 + y^2 \leq 1. $
-A região dada é disco fechado de raio um que é fechada e limitada.  Os pontos crítico:
+A região dada é disco fechado de raio um que é fechada e limitada.  Os pontos críticos são:
 $  \nabla f(x, y) = (2x+1, 2y) = (0, 0) $ e portanto $  (x, y)= (-\frac{1}{2}, 0). $ Neste ponto $  f(-\frac{1}{2},0)=-\frac{1}{4}. $
-Agora anlisamos pontos da fronteira: $  x^2+y^2=1 $ e portanto $  f(x, y)= 1+x $. já que na fronteira $  -1 \leq x \leq 1 $ concluímos que o máximo na fronteira é $  2 $ e mínimo é obtido no ponto $  (-1,0) $ com valor $  0. $ Considerando estes tries valores temos que máximo global é $  2 $ e obtido na fronteira, enquanto o mínimo global é alcançado no interior e o valor é $  -\frac{1}{4}. $
+Agora analisamos pontos da fronteira: $  x^2+y^2=1 $ e portanto $  f(x, y)= 1+x $. já que na fronteira $  -1 \leq x \leq 1 $ concluímos que o máximo na fronteira é $  2 $ e mínimo é obtido no ponto $  (-1,0) $ com valor $  0. $ Considerando estes três valores, temos que o valor máximo global é $  2 $ e obtido na fronteira, enquanto o valor mínimo global é alcançado no interior e o valor é $  -\frac{1}{4}. $
-<color #ed1c24>Exemplo:</color> Ache máximo e mínimo da função $  f(x, y )= \frac{|xy|}{x^2+y^2+1}$ em $  \mathbb{R}^2. $
+Ache o máximo e mínimo da função $  f(x, y )= \frac{|xy|}{x^2+y^2+1}$ em $  \mathbb{R}^2. $
 A existência de valor absoluto mostra que provavelmente a função não é diferenciável quando $  xy=0. $ Porém neste conjunto (união de duas retas) o valor da função é zero e certamente mínimo.
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 Então vamos analisar apenas quando $  x> 0, y>0 $ (por simetria).
-$  \nabla f(x,y)=(\frac{y(y^2 +1 - x^2)}{(x^2+y^2+1)^2}, \frac{x(x^2+1-y^2)}{(x^2+y^2+1)^2})$
+$  \nabla f(x,y)=\left(\frac{y(y^2 +1 - x^2)}{(x^2+y^2+1)^2}, \frac{x(x^2+1-y^2)}{(x^2+y^2+1)^2}\right)$
-Verifique que não existe nenhum ponto crítico em $  x > 0, y > 0 $ pois as curvas $  x^1+1=y^2, y^2+1=x^2 $ não se cruzam.
+Verifique que não existe nenhum ponto crítico em $  x > 0, y > 0 $ pois as curvas $  x^2+1=y^2, y^2+1=x^2 $ não se cruzam.
-Observe também que $  \frac{|xy|}{x^2+y^2+1} < \frac{1}{2} $ e o limite ao longo da reta $  y=x $ uando $  x\rightarrow \infty $ é $  \frac{1}{2} $ e portanto não temos máximo.
+Observe também que $  \frac{|xy|}{x^2+y^2+1} < \frac{1}{2} $ e o limite ao longo da reta $  y=x $ quando $  x\rightarrow \infty $ é $  \frac{1}{2} $ e portanto não temos máximo.
-Em geral parece difícil achar máximo/mínimo ao longo de uma curva fronteira. O método de Lagrange é poderoso para tratar este problema!
+<color #22b14c>Em geral parece difícil achar máximo/mínimo ao longo da fronteira de uma curva. O **método de Lagrange** é poderoso para tratar este problema!</color>
 ====== Método de Lagrange ======
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 $  M = \{x \in U | g(x)=c\}. $
-Queremos achar máximo de uma função $  f: U \rightarrow \mathbb{R} $ restrita ao conjunto $  M. $
+Queremos achar o máximo de uma função $  f: U \rightarrow \mathbb{R} $ restrita ao conjunto $  M. $
-Seuponhamos que $  a $ um máximo ou mínimo local de restrição da $  f $ a $  M $ e que $  a $ não seja um ponto crítico de $  g $ então $  \nabla f(a) $ é ortogonal a $  M$ no ponto $  a. $ Portanto já que $  a $ não é crítico para $  g $ temos:
+Suponhamos que $  a $ é um máximo ou mínimo local da restrição de $  f $ a $  M $ e que $  a $ não seja um ponto crítico de $  g $. Então $  \nabla f(a) $ é ortogonal a $  M$ no ponto $  a. $ Portanto, já que $  a $ não é crítico para $  g $, temos:
 $  \nabla f(a) = \lambda \nabla g(a). $
-De fato $  \nabla g(a) \neq 0 $ implica que $  M $ tem vetor normal no ponto $  a $ e existe um plano tangente a $  M. $ Seja $  v $ um vetor no plano tangente e $  \gamma: I \rightarrow \mathbb{R}^n $ tal que
+De fato, $  \nabla g(a) \neq 0 $ implica que $  M $ tem vetor normal no ponto $  a $ e existe um plano tangente a $  M. $ Seja $  v $ um vetor no plano tangente e $  \gamma: I \rightarrow \mathbb{R}^n $ tal que
-$  \gamma (0)=a, \gamma^{'}(0)=v. $ Já que ponto $  a $ é máximo/mínimo em $  M $ então restrito a curva também é máximo/mínimo: $  \frac{d}{dt} (f \circ \gamma)(t)|_{t=0} = 0. $
+$  \gamma (0)=a, \gamma^{'}(0)=v. $ Já que o ponto $  a $ é máximo/mínimo em $  M $ então restrito a curva também é máximo/mínimo: $  \frac{d}{dt} (f \circ \gamma)(t)|_{t=0} = 0. $
-Pela regra da cadeia:
+Pela **regra da cadeia**:
-$  0 = \nabla f(\gamma(0)) . \gamma^{'}(0) = \nabla f (a) . v = 0. $
+$  0 = \nabla f(\gamma(0)) \cdot \gamma^{'}(0) = \nabla f (a) \cdot v = 0. $
-Portanto o vetor gradiente $  \nabla f (a) $ é ortogonal a $  M $ e lembre que $  \nabla g (a) $ também é ortognal a $  M $ e consequentemente, os dois vetores gradientes são paralelos:
+Portanto o vetor gradiente $  \nabla f (a) $ é ortogonal a $  M $ e lembre que $  \nabla g (a) $ também é ortogonal a $  M $ e consequentemente, os dois vetores gradientes são paralelos:
 $  \nabla f (a) = \lambda \nabla g (a). $
-Teorema: Seja $  a $ um ponto max/min da função $  f $ restrita ao conjunto $  M= \{g=0\} $ e suponhamos que $  a $ não seja um ponto crítico da $  g. $ Então $  \nabla f (a) $ é ortogonal a $  M $ no ponto $  a. $  Já que $  \nabla g (a) \neq 0 $ portanto existe $  \lambda \in \mathbb{R} $ tal que $  \nabla f (a) = \lambda \nabla g (a). $
+**Teorema:** Seja $  a $ um ponto de máximo ou mínimo da função $  f $ restrita ao conjunto $  M= \{g=0\} $ e suponhamos que $  a $ não seja um ponto crítico de $  g. $ Então $  \nabla f (a) $ é ortogonal a $  M $ no ponto $  a. $  Já que $  \nabla g (a) \neq 0 $, existe $  \lambda \in \mathbb{R} $ tal que $  \nabla f (a) = \lambda \nabla g (a). $
-**Duas interpretação super intuitivas e honestas:**
+<color #ff7f27>**Duas interpretações super intuitivas e honestas:**</color>
-Para achar máximo/mínimo de $  f $ no conjunto $  M $ vamos imaginar individuos morando no conjunto $  M. $ Estes indivíduos não tem noção do mundo externo $  \mathbb{R}^n $ e já que $  \nabla g (a)\neq 0 $ o mundo deles localmente parece com $  \mathbb{R}^{n-1}. $ Se o ponto $  a $ é máx/min, para eles deve ser um ponto crítico. Porém o que é o gradiente da função restrita ao mundo deles?????
+Para achar máximo/mínimo de $  f $ no conjunto $  M $ vamos imaginar indivíduos morando no conjunto $  M. $ Estes indivíduos não tem noção do mundo externo $  \mathbb{R}^n $ e já que $  \nabla g (a)\neq 0 $, o mundo deles localmente parece com $  \mathbb{R}^{n-1}. $ Se o ponto $  a $ é máx/min para eles, deve ser um ponto crítico. Porém o que é o gradiente da função restrita ao mundo deles?????
-Aha, deve ser a sombra do gradiente $  \nabla f (a) $ no mundo deles! Portanto a projeção de $  \nabla f(a) $ sobre $  M $ no ponto $  a $ deve ser zero que isto implica ortogonalidade a $  M $ e também paralelismo de $  \nabla f (a) $ e $  \nabla g (a).$
+Aha, deve ser a sombra do gradiente $  \nabla f (a) $ no mundo deles! Portanto a projeção de $  \nabla f(a) $ sobre $  M $ no ponto $  a $ deve ser zero e isto implica ortogonalidade a $  M $ e também paralelismo de $  \nabla f (a) $ e $  \nabla g (a).$
-Agora vamos abordar de outra forma, usando um exemplo explícito: Considere superfície dada por $  M:=\{g=c\} $ $  p=(p_1, \cdots, p_n) $ um ponto fora do conjunto $  M. $ Ache os pontos no conjunto $  M $ que minimizam (ou pelo menos localmente minimizam) a distância até o ponto $  p. $
+Agora vamos abordar de outra forma, usando um exemplo explícito:
-Imagine um balão ocm centro $  p $ sendo enchido até tocar pela primeira vez o conjunto $  M. $ A ideia intuitiva é que sob certas hipôtese de regularidade, no ponto $  (x_1, \cdots x_n) $ em que a esfera toca $  M $ o vetor gradiente $  \nabla g (x_1,\cdots, x_n) $ é paralelo ao vetor $  (x_1-p_1, \cdots x_n-p_n)$. Por outro lado a função que estamos interessados a minimizar é a função quadrada de distância:
+Considere a superfície dada por $  M:=\{g=c\} $ e $  p=(p_1, \cdots, p_n) $ um ponto fora do conjunto $  M. $ Ache os pontos no conjunto $  M $ que minimizam (ou pelo menos localmente minimizam) a distância até o ponto $  p. $
+Imagine um balão com centro $  p $ sendo enchido até tocar pela primeira vez o conjunto $  M. $ A ideia intuitiva é que sob certas hipóteses de regularidade, no ponto $  (x_1, \cdots x_n) $ em que a esfera toca $  M $ o vetor gradiente $  \nabla g (x_1,\cdots, x_n) $ é paralelo ao vetor $  (x_1-p_1, \cdots x_n-p_n)$. Por outro lado a função que estamos interessados a minimizar é a função quadrada de distância:
 $  f(x)= \|x-p\|^2 = \sum_{i=1}^{n} |x_i-p_i|^2 $ e
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 e isto verifica o resultado de Lagrange para este caso especial da função distância.
-Exercícios:
+<color #ed1c24>**Exercícios:**</color>
-Curva de Whatsapp
+**Curva de Whatsapp**
 $  f(x, y) = y^2 -x^3 -x^2 -x$. Usando multiplicadores de Lagrange achamos os pontos no círculo $  x^2+y^2=1$ que maximizam/minimizam a função $  f.$
-<color #22b14c>Essa função foi inspirada por curva elíptica usada pelo Whatsapp ($  y^2=x^3 + 486662x^2 +x$)  sobre o número primo $  2^{255}-19.$</color>
+<color #22b14c>Essa função foi inspirada pela curva elíptica usada pelo Whatsapp ($  y^2=x^3 + 486662x^2 +x$)  sobre o número primo $  2^{255}-19.$</color>
-Entropia
+**Entropia**
 A entropia de um vetor de probabilidade $  P=(p_1, \cdots, p_n), \sum_{i=1}^{n} p_i=1 $ é dada por
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 Mostre que a entropia é máxima quando $  p_i= \frac{1}{n} $ e o valor máximo da entropia é $  ln(n). $
-Exemplo: Queremos construir caixa retangular sem tampa com área total 12. Quais devem ser as dimensões para que o volume seja máximo?
+<color #ed1c24>Exemplo:</color> Queremos construir caixa retangular sem tampa com área total 12. Quais devem ser as dimensões para que o volume seja máximo?
-$  A= xy + 2xz + 2yz =12$ é a área da caixa sem tampa. Queremos maximizar $  V(x, y,z)=xyz $.
+$  A= xy + 2xz + 2yz =12$ é a área da caixa sem tampa. Queremos maximizar $  V(x,y,z)=xyz $.
 **Mais de um vínculo**
-Agora vamos considerar mais de uma restrição, i.e queremos achar máx/min da função $  f $ restrita aos conjuntos $  \{g_1=0\} $ e $  \{g_2=0\} $, \cdots.
+Agora vamos considerar mais de uma restrição, i.e queremos achar máx/min da função $  f $ restrita aos conjuntos $  \{g_1=0\} $ e $  \{g_2=0\} , \cdots$.
 Vamos enunciar com 2 restrições:
-Teorema: Seja $  (x_0, y_0, z_0) $ um ponto extremo de $  f $ uma função $  C^1 $ sujeito restrições  $  g(x, y, z)=0 $ e $  h(x, y,z)=0 $ onde $  h, g $ são funções $  C^1 $ e $  \nabla g (x_0,y_0, z_0) , \nabla h (x_0, y_0, z_0) $ são vetores linearmente independentes então existem $  \lambda, \mu \in \mathbb{R} $ tais que
+**Teorema:** Seja $  (x_0, y_0, z_0) $ um ponto extremo de $  f $ que é uma função $  C^1 $ sujeita às restrições  $  g(x, y, z)=0 $ e $  h(x, y,z)=0 $ onde $  h, g $ são funções $  C^1 $ e $  \nabla g (x_0,y_0, z_0) , \nabla h (x_0, y_0, z_0) $ são vetores linearmente independentes. Então existem $  \lambda, \mu \in \mathbb{R} $ tais que
 $  \nabla f (x_0, y_0, z_0) = \lambda \nabla g (x_0, y_0, z_0) + \mu \nabla h (x_0, y_0, z_0). $
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 $  \nabla f (x, y) =(1, 0) $ e portanto não existe $  \lambda \in \mathbb{R} $ tal que $  \nabla f (0, 0) = \lambda \nabla g (0, 0). $
-<color #ed1c24>Exemplo:</color> Considere seguintes restrições
+<color #ed1c24>Exemplo:</color> Considere as seguintes restrições:
+$  g(x, y, z) = x^6 - z =0, h(x, y, z) = y^3 - z=0. $ Observe que a interseção destes dois conjuntos de nível é uma curva com a seguinte parametrização:
-$  g(x, y, z) = x^6 - z =0, h(x, y, z) = y^3 - z=0. $ Observe que a interseção destes dois conjuntos de nível é uma curva com seguinte parametrzação:
+$  S: x \rightarrow  (x, x^2, x^6), x \in \mathbb{R}. $
-$  S: x \rightarrow  (x, x^2, x^6), x \in \mathbb{R}. $ Agora considere $  f: \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}, f(x, y, z) =y. $ Observe que o ponto $  (0, 0, 0) $ é mínimo e vamos verificar se satisfaz conclusão do teorema de Lagrange:
+Agora considere $  f: \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}, f(x, y, z) =y. $ Observe que o ponto $  (0, 0, 0) $ é mínimo e vamos verificar se satisfaz a conclusão do teorema de Lagrange:
 $  \nabla f (0, 0, 0) = (0, 1, 0), \nabla g(0, 0 ,0)= (0,0,-1) = \nabla h(0,0,0) $ e portanto $  \lambda \nabla g + \mu \nabla h(0, 0, 0) = (0,0,-\lambda -\mu) $ que não pode ser igual ao vetor $  (0, 1, 0) $.