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-====== Logaritmo natural ======
-Na primeira aula falamos do método de exaustão do Arquimedes e a forma engenhosa que ele inventou para calcular área inscrita em algumas curvas. De fato historicamente o cálculo de áreas vem antes de calcular taxa de variação ou derivadas. Num curso de cálculo moderno, aprendemos as taxas de variação, antes de aprender como calcular áreas!
-Para completar essas traições históricas, vamos definir função logaritmo usando noção de área de baixo do gráfico de uma função. De fato logaritmo foi introduzido por J. Napier e também Joost Burgi. O interesse e motivação deles era simplificar números grandes e seus produtos. Uma das propriedade importante do logaritmo (veja final desta página) é "transformar o produto em soma e progressões geométricas em progressões aritméticas".
-Para conhecer um pouco mais a história veja a [[https://www.maa.org/press/periodicals/convergence/logarithms-the-early-history-of-a-familiar-function-introduction|página]] de Mathematical Association of America    (agradecemos Prof. Parham Salehyan por indicar essa página.)
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-Considere  $  f(t) = \frac{1}{t}  $ como uma função de $  t > 0  $. O gráfico desta função é como a seguir :
-{{ :log.png?400 |}}
-Agora vamos definir outra função $  ln : (0, \infty) \rightarrow \mathbb{R}  $:
-$  ln(x) = $ área abaixo do gráfico da $  f  $ entre $  1 , x  $ , se $  x \geq 1  $. No gráfico acima, referimos a área do "trapezoide curvi-linear" com vértices $  (1,0), (x, 0), (1,1), (x, \frac{1}{x})$.
-Se $  x <1  $ definimos $  ln(x) = - ln(\frac{1}{x}). $
-<WRAP center round important >
-Claro que estamos assumindo que a área é uma noção bem definida e a área debaixo do gráfico de $  f  $ entre $  1$ e $  x  $ é um número real.
-</WRAP>
-Alguns corolários da definição:
-  -  $  ln(1)=0  $
-  - $  ln(x)  $ é uma função estritamente crescente de $  x  $.
-  - $  ln  $ é uma função contínua. Isto é um pouco mais delicado e precisa de alguma demonstração.
-<WRAP  round box 20%>
-Proposição
-</WRAP>
-  A função $  ln: (0, \infty) \rightarrow  \mathbb{R}  $ é uma função contínua em todo $  x \in (0, \infty)  $.
-Já que a definição desta função foi baseada numa intuição sobre área, a demonstração da continuidade também usará noção da área.
-Seja primeiramente $  x \in (1, \infty) $ e escolhemos $  h  $ pequeno para que $  x-h  $ e $  x+h  $ também pertençam ao intervalo $  (1, \infty)  $.
-No desenho abaixo $  A = (x, 0), B=(x+h, 0)  $. A função $  f  $ é estritamente decrescente e portanto pela figura (apenas visualizamos um pedaço do gráfico da $  f  $), temos seguintes desigualdade entre áreas:
-$  area(ABDF) < area(ABCD) = ln(x+h) - ln(x) < area(ABEC)    $
-{{ :log2.png?400 |}}
-Observe que área de retângulo $  ABDF  $ é igual $  h \times f(x+h) = \frac{h}{x+h}  $ e a área do retângulo $  ABEC  $ é $  h \times f(x) = \frac{h}{x}  $ ou seja  se $  h > 0  $:
-$  \frac{-h}{x} < ln(x+h) - ln(x) < \frac{-h}{x+h}    $
-Se $  h < 0  $ temos também:
-$  \frac{h}{x} < ln(x) - ln(x+h) < \frac{h}{x+h}    $
-e portanto em geral
-$  \frac{|h|}{|x|} < |ln(x) - ln(x+h)| < \frac{|h|}{|x+h|}    $
-Observe que quando $  h \rightarrow 0  $   os dois extremos das desigualdades acima tendem a zero e portanto pelo teorema de Sandwich temos que $  ln  $ é uma função contínua.
-Vamos colocar o gráfico da função logaritmo (usando geogebra):
-{{ :log3.png?300 |}}
-==== Um limite envolvendo logaritmo. ====
-Calcule  $  \lim_{x \rightarrow 1} \frac{ln(x)}{x-1}  $.
-Observe que vamos enfrentar um limite "do tipo $  \frac{0}{0}  $" .
-Vamos usar as desigualdades que obtivemos anteriormente (comparação das áreas).
-$  x > 1 \Rightarrow  \frac{x-1}{x} < ln(x) < (x-1)  \Rightarrow \frac{1}{x}  <  \frac{ln(x)}{x-1} < 1  $
-Portanto usando a ideia do Teorema de Sandwich concluímos que
-$  \lim_{x \rightarrow 1^+} \frac{ln(x)}{x-1}=1   $.
-Vamos ver o que ocorre quando $  x \rightarrow 1^{-}  $. Observe que
-$  x< 1 \Rightarrow ln(x) = - ln(\frac{1}{x})  $ e
-$  \frac{ln(x)}{x-1} = \frac{- ln(\frac{1}{x})}{- x( \frac{1}{x} -1)}  $
-Agora se chamarmos $  y = \frac{1}{x}  $ então $  y \rightarrow 1^+  $ e portanto:
-$  \lim_{x \rightarrow 1^-} \frac{ln(x)}{x-1} = \lim_{y \rightarrow 1^+}  \frac{y ln(y)}{y-1} =  1 \times 1 = 1  $.
-Conclusão:
-$  \lim_{x \rightarrow 1} \frac{ln(x)}{x-1} = 1  $.
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-Logaritmo "em outras bases":
- As vezes consideramos outra função
-$  \log_{10} : (0, \infty) \rightarrow \mathbb{R} ;\quad  \log_{10}(x) = ln(x) ln(10)  $
-Geralmente escrevemos $  \log_{10}^x  $ em vez de $  \log_{10}(x)  $.
-====== Função exponencial======
-Lembrando que a função $  ln: (0, \infty) \rightarrow \mathbb{R}  $ é uma função injetiva e além disto é sobrejetora. Assim, podemos definir a função inversa
-$  exp: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ cuja imagem é $  (0, \infty)  $.
-Já que a função exponencial é inversa da função logaritmo, podemos adivinhar como é seu gráfico. Ele é simétrico do gráfico da função $  ln  $ com respeito do diagonal do plano (curva azul). Já que a função exponencial é inversa de uma função contínua, ela é contínua também.
-{{ :exp.png?300 |}}
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-<WRAP center round tip >
-A Propriedade mais conhecida do logaritmo e exponencial
-</WRAP>
-Provavelmente, voce que está lendo essa página, deve saber que a função logaritmo tem uma propriedade mágica:
-<color #ed1c24>$  ln(ab) = ln(a)+ln(b)  $. Por que será? </color>
-Não é fácil neste momento demonstrar isto. Porém, já que é uma propriedade muito conhecida vamos tentar dar uma justificativa (que num certo sentido é uma prova, se adicionarmos um pouco mais de tempero de rigor!)
-Para facilitar vamos considerar caso em que $  a, b \geq 1  $.
-Na figura abaixo, vamos considerar $  a=2, b=3  $  apenas para ilustrar a ideia.
-Observe que pela definição de $  ln(x)  $, para mostrar $  ln(2\times 3) = ln(2) + ln(3)  $.
-$  ln(2 \times 3) $ é a área debaixo do gráfico de 1 até 6 que é a soma de dois números: área entre 1 até 2 + área de 2 até 6
-{{ :propln-1.png?400 |}}
-Na figura abaixo analisamos a área abaixo do gráfico de 2 até 6 (região I). Afirmamos que essa área é igual a área abaixo do gráfico de 1 até 3 (região II).  Se provarmos essa afirmação concluímos que  $  ln(6) = ln(2) + ln(3)  $.
-Vamos cobrir cada região com segmentos verticais. Observe que podemos fazer uma correspondência entre segmentos da região I e região II. A cada segmento da região I baseado no ponto $  (t,0)  $ , correspondemos um segmento na região II com comprimento dobro baseado no ponto $  (\frac{t}{2}, 0)  $.
-Região I
-{{ :propln-1.png?400 |}}
-Região II
-{{ :propln2-6-t2-1.png?400 |}}
-Agora um pulo de gato (não é um pulo dishonesto!): área da região I = área da região II
-<color #7092be>Para se convencer, lembre que se dobrarmos a largura de um retângulo, dividindo seu comprimento por 2, sua área não altera! De fato estamos usando mesmo tipo de argumento!</color>
-Bem, agora falta o(a) leitor(a) continuar o argumento para outros valores de $  a, b  $.
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-Já que estamos convencid@s da propriedade básica $  ln(ab) = ln(a)  + ln(b)  $ vamos usar a definição da função exponencial e concluímos (exercício) que
-$  exp(x+y) = exp(x) exp(y)  $
-Essa propriedade é muito legal. Vamos brincar! Denotamos por $  e= exp(1)  $
-$  exp(2) = exp(1+1)=exp(1)exp(1)= e^2  $
-continuando assim podemos verificar que $  exp(n)=e^n  $
-Em seguida podemos mostrar que para todo número racional $  exp(\frac{p}{q}) = e^{\frac{p}{q}}  $.
-Agora vamos usar o fato de que a função $  exp  $ é contínua para definir potência irracional do número $  e  $. Advinha como definir!!!!
-$  e^{r} := exp(r)  $
-Observe que em princípio não fazia sentido elevar um número a uma potência irracional (tipo $  \pi  $ ). Porém temos direito de definir ela usando a função exponencial cujo domínio é o conjunto de todos os números reais.
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-Exercício: Calcule o seguinte limite:
-$  \lim_{x \rightarrow 0} \frac{e^x -1}{x}  $.
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-Alguns lugares no mundo onde encontramos logaritmo:
-Magnitude de Terremotos: A famosa escala Richter para medir intensidade de terremotos é calculada usando logaritmo:
-$  M = \log_{10}^A + B  $  onde $  A  $ é a amplitude (em mm) medida pelo sismográfi e $  B  $ é um fator de correção de distância.
-Pela definição e propriedade de logaritmo concluímos que um terremoto de magnitude 7 é 10 vezes mais intenso de que um terremoto de magnitude 6 na escala Richter.
-Medir som: o volume de som é medido em decibels (dB):
-$  v= 10 \log_{10}^{P \times 10^{12}}  $
-onde $  P  $ é a pressão sonora.
-Acidez (pH): A acidez é medida com pH e é calculada como a seguir:
-$  pH = - \log_{10}^{[H^+]}  $ onde $  [H^+]  $ é a concentração molar do hidrogênio iônico dissolvido.