Differences

This shows you the differences between two versions of the page.

--- funcaoweie [2022/04/27 15:18] – external edit 127.0.0.1
+++ funcaoweie [Unknown date] (current) – removed - external edit (Unknown date) 127.0.0.1
@@ Line 1: / Line 1: @@
-Função de Weierstrass: Vamos apresentar um exemplo de uma função que é contínua, porém não é diferenciável em nenhum ponto. A função desejada vai ser definida por uma serie convergente uniformemente (usando teste M de Weierstrass) e será contínua por ser limite uniforme de funções contínuas. Porém não tem derivada em nenhum ponto. Este detalhe de não ter derivada em nenhum ponto é delicado e precisa de uma demonstração minuciosa que apresentamos no video de uma forma sucinta e intuitiva.
-<WRAP round tip 60%>
-Sabia que a "maioria" de funções contínuas são "patológicas" como função de Weierstrass?
-</WRAP>
-Portanto é hora de rever o uso da palavra patológica!
-Definição: Seja $R \subset C^0([a, b])$ um subconjunto de espaço de funções contínuas munido com métrica vindo da norma supremo. $R$ é chamado residual se $R$ contém uma interseção enumerável de conjuntos abertos e densos.
-Essa definição é para qualquer espaço topológico. Porém destacamos o seguinte resultado nos espaços métricos completos:
-<WRAP  round tip 60%>
-Teorema de Baire: Todo sub conjunto residual de um espaço métrico completo é um denso
-</WRAP>
-E agora vem um choque de realidade:
-<WRAP  round important 60%>
-(Banach-Mazurkiewicz) Existe um subconjunto residual $\mathcal{W} \subset C^0([a,b])$ tal que todo $f \in \mathcal{W}$ não é diferenciável em nenhum ponto de $[a, b].$
-</WRAP>
-Para provar, suponhamos $a=0, b=1$, definimos
-$$E_n := \{ f \in C^0([0, 1]) : \exists x \in [0, 1-\frac{1}{n}] t.q \forall h \in (0, 1-x) : |\frac{f(x+h)-f(x)}{h}| \leq n\}$$
-{{youtube>egSXebnTr7Q?small}}