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-Função de Weierstrass: Vamos apresentar um exemplo de uma função que é contínua, porém não é diferenciável em nenhum ponto. A função desejada vai ser definida por uma serie convergente uniformemente (usando teste M de Weierstrass) e será contínua por ser limite uniforme de funções contínuas. Porém não tem derivada em nenhum ponto. Este detalhe de não ter derivada em nenhum ponto é delicado e precisa de uma demonstração minuciosa que apresentamos no video de uma forma sucinta e intuitiva.
-<WRAP round tip 60%>
-Sabia que a "maioria" de funções contínuas são "patológicas" como função de Weierstrass?
-</WRAP>
-Portanto é hora de rever o uso da palavra patológica!
-Definição: Seja $R \subset C^0([a, b])$ um subconjunto de espaço de funções contínuas munido com métrica vindo da norma supremo. $R$ é chamado residual se $R$ contém uma interseção enumerável de conjuntos abertos e densos.
-Essa definição é para qualquer espaço topológico. Porém destacamos o seguinte resultado nos espaços métricos completos:
-<WRAP  round tip 60%>
-Teorema de Baire: Todo sub conjunto residual de um espaço métrico completo é um denso
-</WRAP>
-E agora vem um choque de realidade:
-<WRAP  round important 60%>
-(Banach-Mazurkiewicz) Existe um subconjunto residual $\mathcal{W} \subset C^0([a,b])$ tal que todo $f \in \mathcal{W}$ não é diferenciável em nenhum ponto de $[a, b].$
-</WRAP>
-{{youtube>egSXebnTr7Q?small}}