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+Prazo para entregar 15 de Dezembro.
+. Seja $f : U \subset \mathbb{R}^m \rightarrow \mathbb{R}^n$ uma função diferenciável com $Df_a$ injetiva para todo $a \in U$. Mostre que gráfico de $f$ é uma superfície e ache sua dimensão. Ache uma base para espaço tangente de um ponto específico no gráfico.
+. Podemos cobrir a faixa de Moebius com duas cartas de parametrização? Qual é a condição para que uma superfície que possui um atlas com duas cartas seja orientável?
+. (Partição de unidade) Seja $A \subset \mathbb{R}^n$ e $\mathcal{O}$ uma cobertura de $A$ por conjuntos abertos. Então prove que existe uma coleção $\Phi$ de funções $\phi \in C^{\infty}$ definidas num aberto contendo $A$ satisfazendo seguintes propriedades:
+  * Para todo $x \in A, 0 \leq \phi(x) \leq 1$
+  * Para todo $x \in V$ existe uma vizinhança $V$ tal que exceto um número finito de $\phi$'s toda função em $\Phi$ se anula em $V$.
+  * $\sum_{\phi \in \Phi} \phi(x) =1$. Observe que pelo segundo item essa soma é finita.
+  * Para todo $\phi \in \Phi$ existe $U \in \mathcal{O}$ tal que $\phi=0$ fora de um conjunto fechado dentro de $U$.
+Para resolver exercício veja livro de Spivak (Calculus on manifolds) e tenta completar os passos que ele não demonstra e deixa como exercício.
+. Seja $M \subset \mathbb{R}^n$ uma hiperfície orientável. Mostre que existe $A \subset \mathbb{R}^n$ e uma função diferenciável $g : A \rightarrow \mathbb{R}$ tal que $M = g^{-1}(0).$ Dicas (Spivak): Primeiramente prove isto localmente (lembrem que nossa definição de superfície já implicava essa parte local) e ai use partição de unidade e orientação para completar a demonstração.
+Prazo de entrega 27 de novembro, 23:59.
+Exercícios 8 e 9 do livro do Manfredo.
+Prazo de entrega: 21/10, 23:59
 . Seja $\phi_1, \cdots , \phi_k$ $1-$formas. Mostre que $\phi_1 \wedge \cdots \wedge \phi_k (v_1, \cdots, v_k) = det[\phi_i(v_j)]$.
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   - $ ** \omega = (-1)^{k(n-k)} \omega.$
-. Um campo vetorial $v$ em $\mathbb{R}^n$ pode ser visto como uma função $v: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^n$. Definimos $div (v)(p) = tr (Dv_{p})$.
+. Seja $f : \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$ diferenciável dada por $f(x_1, \cdots, x_n) = (y_1, \cdots, y_m)$. Seja $\omega = dy_1 \wedge \cdots , \wedge dy_n$. Mostre que
+$$(f^* \omega)_p = det(Df_p) dx_1 \wedge \cdots \wedge dx_n$$
+. Um campo vetorial $v$ em $\mathbb{R}^n$ pode ser visto como uma função $v: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^n$. Definimos $div (v)(p) = tr (Dv_{p})$.
   - Mostre que se $v = \sum a_i e_i$ então $div(v) = \sum \frac{\partial a_i}{ \partial x_i}$
   - Se $\omega$ for $1-$forma diferencial obtida pelo campo $v$ e o produto interno usual (i.e $\omega_p(w) = <v(p), w>$) e $\eta$ a forma de volume em $\mathbb{R}^n$ ($\eta(e_1, \cdots, e_n) =1$ para $e_i$ base canonica)então $$ d(*\omega) = (div(v)) \eta$$