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-<color #ed1c24>(texto adaptado do livro Infinite Power, Strogatz)
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-Vamos considerar a duração de cada dia do ano, medida em minutos desde nascer do sol ao pôr do sol. Fora do equador e equinócio (que ocorre duas vezes ao ano) os dias do ano tem duração variada.  Os solstícios de inverno e verão podem ser definidos a partir dos dias mais curtos e mais longos, respectivamente. Os equinócios e solstícios demarcam o início das estações do ano (verão, outono, inverno e primavera).
-Utilizamos o site  (Date and Time info) para esboçar seguintes gráficos. Veja os dados captados neste arquivo.
-O primeiro gráfico representa a duração de cada dia desde 21 de dezembro de 2018 por um ano.
-Como podemos observar 21 de dezembro que foi primeiro dia de verão teve maior duração (um dos máximos desta função) e que foi um dos solistícios. Outro solistício foi em 21 de junho que foi início do inverno.
-Em outro gráfico esboçamos o crescimento da duração com respeito ao dia seguinte. Assim no dia 21 de dezembro que tivemos o dia mais longo, a duração do dia quase foi igual a do dia 22 de dezembro e a partir daí a duração caiu e a caída foi acentuada até o dia 23 de março que foi equinócio. Neste equinócio tivemos maior variação (negativa) da duração do dia. A partir daí o decaímento da duração dos dias foi menor até o dia 21 de junho onde tivemos segundo solistício.
-O primeiro gráfico pode ser considerado como gráfico de uma função  $ f   $ e o segundo gráfico é da função  $ g   $
- $ g(x) = f(x+1) - f(x) = \frac{f(x+1)-f(x)}{(x+1)-x}   $.
-o gráfico da  $ f   $ é muito similar ao gráfico da função coseno (talvez com mudança de variável). Enquanto o segundo gráfico assemelha função  $ -sen   $ que é a derivada da função coseno! (veja abaixo. Derivada de funções trigonométricas)
-Apesar de que os gráficos abaixo de fato são apenas um número fínito de pontos (e não realmente gráfico de uma função com domínio um intervalo) e  na definição (*) acima não temos nenhum limite, o segundo gráfico parece como "derivada" do primeiro gráfico e isto deve ser considerado como uma evidência da potência de cálculo para entender natureza!
-Derivada de funções trigonométricas:
-Vamos calcular a derivada de duas funções trigonométricas. Na próxima página vamos tratar outras funções.
-Calculamos a derivada da função  $ cos   $. De fato vamos mostrar que  $ cos^{'}(x) = -sen(x)   $
- $ cos^{'}(x) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{cos(x+h) - cos(x)}{h} =    $
- $ = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{cos(x)cos(h) - sen(x)sen(h) - cos(x)}{h}   $
- $ = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{cos(x)(cos(h)-1)}{h} - \lim_{h \rightarrow 0} \frac{-sen(x) sen(h)}{h} = -sen(x)    $
-No último passo utilizamos seguintes limites anteriormente calculados:
- $ \lim_{h \rightarrow 0} \frac{sen(h)}{h} =1, \lim_{h \rightarrow 0} \frac{cos(h)-1}{h} = 0.   $
-Como um exercício mostrem que  $ sen^{'}(x) = cos(x).$