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--- ebsd2021:raissi4 [2021/10/20 14:47] – [Classificação das Componentes de Fatou] escola
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 Uma família $\mathcal{F}$ de funções entre espaços métricos $(X,d) \to (Y,d')$ é dita **equicontínua**
-em $x_0 \in X$ quando para todo $\epsilon >0$ existe $\delta>0$ tal que:
+em $x_0 \in X$ quando para todo $\epsilon >0$ existe $\delta>0$ tal que, para toda $f \in \mathcal{F}$, vale:
-\[ \text{Para toda $f \in \mathcal{F}$ vale: }d(x_0,x) < \delta \implies d'(f(x_0),f(x))< \epsilon  \]
+\[ d(x_0,x) < \delta \implies d'(f(x_0),f(x))< \epsilon  \]
 Dada uma sequência $(f_n)_n$ de funções com $f_n : X \to Y$,
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 Passando para o conceito de funções complexas:
-Seja $f : \overline{\mathbb{C}} \to \overline{\mathbb{C}}$ um mapa holomorfo e
+Sejam $f : \overline{\mathbb{C}} \to \overline{\mathbb{C}}$ um mapa holomorfo e
-escrevendo como $\{f^n\}$ a família das suas $n$-iteradas.
+$\mathcal{F} := \{f^n\}$ a família das suas iteradas.
-Definimos o **conjunto de Fatou** $F$ de $f$ como o conjunto de pontos de $\overline{\mathbb{C}}$
+Definimos o **conjunto de Fatou** $F_f$ de $f$ como o conjunto de pontos de $\overline{\mathbb{C}}$
 onde a família de iteradas é normal
-(também chamado de **domínio de normalidade** de $f$), também denotado por $F(f)$
+(também chamado de **domínio de normalidade** de $f$).
-O **Conjunto de Julia** $J$ de $f$ é o complemento do conjunto de Fatou, também denotado $J(f)$.
+O **Conjunto de Julia** $J_f$ de $f$ é o complemento do conjunto de Fatou.
-Pelas definições, $F$ é aberto e $J$ é compacto.
+Pelas definições, $F_f$ é aberto e $J_f$ é compacto.
-No caso da função $f$ ser um mapa racional, usando o Teorema de Arzelá-Ascoli, podemos definir esses
+No caso em que a função $f$ é um mapa racional, usando o Teorema de Arzelá-Ascoli, podemos definir esses
-conjuntos em termos de **equicontinuidade** da sequência de iteradas: O conjunto de Julia é o aberto
+conjuntos em termos da **equicontinuidade** da sequência de iteradas: O conjunto de Fatou é o maior aberto
 onde a família de iteradas é equicontínua.
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 **Exemplo:** Considerando o mapa $z \mapsto z^2$, se $|z| < 1$ ou $|z| > 1$ temos que a sequência
-de iteradas converge para $0$ e $\infty$ respectivamente. Se $|z|=1$ a sequência de iteradas não sai do círculo unitário
+de iteradas converge para $0$ e $\infty$, respectivamente. Se $|z|=1$ a sequência de iteradas não sai do círculo unitário
 e tomando vizinhanças de $z$ temos pontos que convergem para 0 e $\infty$.
-Então, o conjunto de Fatou desse mapa é $\overline{\mathbb{C}} \setminus S^1$.
+Então, o conjunto de Fatou desse mapa é $\overline{\mathbb{C}} \setminus S^1$ e o conjunto de Julia é $\mathbb{S}^1$.
 No caso de $f$ ser um polinômio, podemos definir o **conjunto de Julia cheio de f**, denotado por
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 ===== Propriedades =====
-Dada uma função $f:X \to X$ e conjunto $A \subset X$, dizemos que $A$ é:
+Dados uma função $f:X \to X$ e um conjunto $A \subset X$, dizemos que $A$ é:
   -**Invariante para frente** quando $f(A) = A$.
   -**Invariante para trás** quando $f^{-1}(A) = A$.
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 No caso de mapas racionais, por serem sobrejetivos, invariância para trás e completa são equivalentes:
-temos $f(f^-1(A))=A$ e se ocorre invariância para trás temos $f(A)=A$.
+temos $f(f^{-1}(A))=A$ e se ocorre invariância para trás temos $f(A)=A$.
 **Proposição 1 (Invariância):** Dada $f: \overline{\mathbb{C}} \to \overline{\mathbb{C}}$, seus conjuntos de Julia e Fatou
 são completamente invariantes.
-//Prova:// Para o conjunto de Fatou,dado um aberto $U$, alguma sequência de iteradas $(f^{n_j})_j$ converge uniformemente em compactos de $U$ se , e só se, a sequência $(f^{n_j+1})_j$ converge uniformemente em compactos do aberto $f^{-1}(U)$.
+//Prova:// Para o conjunto de Fatou, dado um aberto $U$, alguma sequência de iteradas $(f^{n_j})_j$ converge uniformemente em compactos de $U$ se , e só se, a sequência $(f^{n_j+1})_j$ converge uniformemente em compactos do aberto $f^{-1}(U)$.
-A invariância do Julia vem do fato que se $A$ é completamente invariante, seu complemento também será.
+A invariância do Julia vem do fato que se um conjunto é completamente invariante, seu complemento também será.
-**Proposição 2 (Iteradas):** Dado $n$ um inteiro positivo, vale que $J(f) = J(f^n)$ e $F(f)=F(f^n)$.
+**Proposição 2 (Iteradas):** Dado $n$ um inteiro positivo, vale que $J_f = J_{f^n}$ e $F_f=F_{f^n}$.
-//Prova:// A sequência de iteradas geradas por $f^n$ é da forma $(f^{nm})_m$, então $F(f)\subset F(f^n)$.
+//Prova:// A sequência de iteradas geradas por $f^n$ é da forma $(f^{nm})_m$, então $F_f\subset F_{f^n}$.
-Por outro lado, se $z \in F(f^n)$, temos vizinhança onde a família é normal, e para cada
+Por outro lado, se $z \in F_{f^n}$, temos vizinhança onde a família é normal, e para cada
-$k =1,\cdots,p-1$ temos que a sequência de iteradas $f^k \circ f^{n}$ é normal, mostrando a outra
+$k =1,\cdots,n-1$ temos que a sequência de iteradas $(f^k \circ f^{mn})_m$ é normal, mostrando a outra
 inclusão. Por argumento similar ao do teorema anterior, vale o mesmo para o conjunto de Julia.
-**Proposição 3 (Bacia de atração):** A bacia de atração $A$ de uma órbita periódica atratora está contida no conjunto de Fatou. Por outro lado, toda órbita periódica repulsora está no conjunto de Julia.
+**Proposição 3 (Bacia de atração):** Toda bacia de atração (de órbita atratora ou parabólica) e disco de Siegel está em $F_f$. A fronteira de qualquer bacia de atração ou disco de Siegel está em $J_f$ (em particular, pontos parabólicos estão em $J_f$). Todo ponto repulsor está em $J_f$.
-//Prova:// Pensando em $z_0$ como o ponto $m$-periódico como ponto fixo de $f^m$, então podemos pensar somente no caso de ser ponto fixo de $f$. O resultado segue fazendo a linearização e estudando o módulo do multiplicador $f'(z_0) = \lambda$ para verificar como as convergências ocorrem.
-**Proposição 4 (Pontos parabólicos):** Todo ponto periódico parabólico pertence ao conjunto de Julia.
-//Prova:// Similar ao caso anterior, usando a expansão local da função no ponto.
+//Prova:// Pela proposição anterior, podemos assumir que a bacia de atração ou disco de Siegel estão associados a pontos fixos. Seja então $A$ bacia de atração de ponto fixo atrator $z_0$. Se $V$ é uma vizinhança de $z_0$ onde $f$ é linearizável, então $V \subset F_f$; porém $A = \bigcup_n f^{-n}(V)$ e a invariância completa de $F_f$ garante que $A \subset F_f$. Argumento similar conclui qu toda bacia de atração de ponto fixo parabólico ou disco de Siegel está em $F_f$ também. A fronteira $\partial A$ de uma bacia deatração é necessariamente invariante por $f$, porém, dados quaisquer $z \in \partial A$ e $V$ vizinhança de $z$, $V$ contém pontos de $A$ cujas órbitas convergem para o ponto fixo atrator por iterados de $f$, enquanto que a órbita de $z$ está uniformemente distante de $z_0$; isso implica que $\partial A \subset J_f$. A fronteira de um disco de Siegel está em $J_f$ pois por dentro do disco podemos tomar subsequência de iterados de $f$ que convergem para a identidade (pois existe $n_j \nearrow \infty$ com $\rho^{n_j} \xrightarrow{} 1$ se $\rho = f'(z_0)$ é um ângulo irracional) enquanto que o mesmo não ocorre por fora. Finalmente, pontos repulsores estão em $J_f$ pois são fixos enquanto que vizinhanças suas são mandadas para fora delas mesmas.
 ===== Teorema de Montel =====
 Para as próximas propriedades que serão citadas, suas demonstração envolvem o seguinte teorema:
-**Teorema de Montel: ** Seja $U \subset \overline{\mathbb{C}}$ e $\mathcal{F}$ uma família de mapas
+**Teorema de Montel: ** Sejam $U \subset \overline{\mathbb{C}}$ e $\mathcal{F}$ uma família de mapas
-holomorfos $U \to \overline{\mathbb{C}}\setminus\{a,b,c\}$, ou seja, que omitem 3 valores, então
+holomorfos $U \to \overline{\mathbb{C}}\setminus\{a,b,c\}$, ou seja, que omitem 3 valores. Então
 a família $\mathcal{F}$ é normal.
 ===== Mais propriedades =====
-**Proposição 5: (Transitividade):** Se $z_0 \in J(f)$ e seja $W$ uma vizinhança desse ponto. Então,
+Uma consequência imediata desse teorema é a seguinte proposição:
-a união das imagens  $U = \bigcup_n f^n(W) \supset J(f)$ contém todos menos dois pontos de $\overline{\mathbb{C}}$.
-Que possui as seguintes consequências:
+**Proposição 5: (Transitividade):** Se $z_0 \in J_f$ e $W$ é uma vizinhança desse ponto, então
+a união das imagens  $U = \bigcup_n f^n(W)$ contém toda a esfera $\overline{\mathbb{C}}$, exceto talvez dois pontos.
 **Corolário 1 (Julia com interior não vazio):** Se o conjunto de Julia possui interior não vazio, então
 será igual a toda a esfera de Riemann.
-Se $z$ é ponto interno, tem vizinhança contida em $J$ e a união das imagens será densa em $\overline{\mathbb{C}}$ e segue de $J$ ser fechado.
+//Prova:// Se $z$ é ponto interno, tem vizinhança contida em $J_f$ e a união das imagens será densa em $\overline{\mathbb{C}}$, concluindo o resultado por $J_f$ ser invariante e fechado.
-**Corolário 2 (Preimagens Iteradas são Densas):** Se $z_0$ é ponto do conjunto de Julia $J(f)$, então o
+**Corolário 2 (Preimagens Iteradas são Densas):** Se $z_0$ é ponto do conjunto de Julia $J_f$, então o
 o conjunto de suas premiagens iteradas:
 \[\{z \in \overline{\mathbb{C}} : f^n(z) = z_0 \text{ para algum $n$ inteiro positivo}\}\]
-é denso em $J$.
+é denso em $J_f$.
-Que é uma consequencia direta pra proposição 5.
+**Corolário 3 (Julia não tem pontos isolados):** Se f tem grau maior ou igual que 2, então $J_f$ não tem
-**Proposição 6 (Julia não tem pontos isolados):** Se f tem grau maior ou igual que 2, então $J(f)$ não tem
 pontos isolados.
-**Proposição 7 (Componentes do Julia):** Se $f$ tem grau 2 ou mais, $J(f)$ é conexo ou possui componentes
+**Corolário 4 (Componentes do Julia):** Se $f$ tem grau maior ou igual que 2, então $J_f$ é conexo ou possui quantidade não enumerável de componentes conexas.
-conexas não-enumeráveis.
-===== Classificação das Componentes de Fatou=====
+===== Domínios Hiperbólicos =====
-Seja $f:\hat{\mathbb{C}}\rightarrow \hat{\mathbb{C}}$ um mapa racional de grau $d\geq 2$. Como vimos acima, as componentes do conjunto de Fatou são totalmente invariantes por $f$, então cada componente é mapeada sobre outra componente por $f$. Assim, a órbita positiva de uma componente é uma sequência de componentes, e dizemos que uma componente é **periódica** de período $n$ se a sua órbita positiva possui $n$ componentes e portanto é fixada por $f^{n}$. Mais precisamente, dizer que uma componente $U_{0}$ é periódica de periodo $n$ se existem componentes $U_{1},U_{2},...,U_{n}$ tais que $f(U_{i})\subset U_{i+1}$ e $f^{n}(U_{n}) = U_{0}$. Um dos fatos fundamentais é que os comportamentos dinamicos das componentes tem uma descrição completa. De fato, considere uma componente $U$ periódica de um mapa racional $f$. Passando a um iterado, podemos supor que a componente é fixa. Como o seu complemento tem uma infinidade de pontos, pois contém o conjunto de Julia, $U$ é um dominio hiperbólico, e portanto podemos tomar a métrica de Poincaré em $U$. Pelo lema de Schwarz, $f|U$ é uma isometria local ou uma contração da métrica.
+Para classificar as componentes de Fatou de um mapa racional, precisamos entender o que são domínios hiperbólicos. Da classificação de superfícies de Riemann, tiramos dois fatos básicos:
+**Teorema:** Toda superfície de Riemann não compacta pode ser mergulhada em $\overline{\mathbb{C}}$.
+**Teorema:** Se $S$ é uma superfície de Riemann e $\tilde{S}$ é seu recobrimento universal, então valem:
+  - $\tilde{S} \simeq \overline{\mathbb{C}} \implies S \simeq \overline{\mathbb{C}}$;
+  - $\tilde{S} \simeq \mathbb{C} \implies S \simeq \mathbb{C}$ ou $S \simeq \mathbb{C}\setminus \{0\}$ ou $S$ é um toro complexo.
+Em particular, todo subconjunto $S \subset \overline{\mathbb{C}}$ tal que $\# \overline{\mathbb{C}}\setminus S \geq 3$ tem recobrimento universal isomorfo ao disco $\mathbb{D}$. Chamamos $S$ então de domínio hiperbólico. A métrica de Poincaré no disco induz uma métrica em $S$.
+**Lema de Pick:** Se $f: U \to U$ é um mapa holomorfo em um domínio hiperbólico, então $f$ é uma isometria local ou uma contração para a métrica de Poincaré.
+===== Classificação das Componentes de Fatou =====
+Seja $f:\overline{\mathbb{C}}\rightarrow \overline{\mathbb{C}}$ um mapa racional de grau $d\geq 2$. Como vimos acima, as componentes do conjunto de Fatou são totalmente invariantes por $f$, então cada componente é mapeada sobre outra componente por $f$. Assim, a órbita de uma componente é uma sequência de componentes, e dizemos que uma componente é **periódica** de período $n$ sua órbita tem tamanho $n$ e é fixada por $f^{n}$. Um dos fatos fundamentais é que o comportamento dinamico das componentes periódicas tem uma descrição completa. De fato, considere uma componente $U$ periódica de um mapa racional $f$; passando a um iterado, podemos supor que a componente é fixa. Como o seu complemento tem uma infinidade de pontos (pois contém o conjunto de Julia, que não possui pontos isolados), $U$ é um dominio hiperbólico. Assim, podemos tomar a métrica de Poincaré em $U$. Pelo lema de Schwarz, $f|U$ é uma isometria local ou uma contração da métrica.
 **Lema 1:** Seja $z_{0}\in U$. Se $f:U \rightarrow U$ é uma contração da métrica de Poincaré e existe $w\in U$ e uma sequencia de iterados $f^{n}(z_{0})$ que converge a $w$, então $w$ é um ponto fixo e $f^{n}(z)\rightarrow w$ para todo $z\in U$.
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 **Lema 2:** Se existe $z_{0} \in U$ tal que a sequencia $(f^{n}(z_{0}))_{n}$ converge ao bordo de $U$, então ela converge a um ponto fixo $w$ e $f^{n}(z) \rightarrow w$, para todo $z\in U$.
-Neste ultimo caso, obtemos que se a órbita positiva em $U$ converge para o bordo de $U$, então estamos no caso parabólico, isto é, $U$ é bacia parabólica. Mais geralmente, a classificação das componentes estáveis do Fatou é dado pelo seguinte teorema geral:
+Neste ultimo caso, obtemos que $U$ é bacia de atração de órbita parabólica. Mais geralmente, a classificação das componentes estáveis do Fatou é dada pelo seguinte teorema:
-**Teorema :**Seja $U$ uma componente fixa do conjunto de Fatou de um mapa racional $f$ de grau $d\geq 2$. Então, a dinamica  de $f$ em $U$ é descrita por uma das seguintes possibilidades abaixo:
+**Teorema:** Seja $U$ uma componente fixa do conjunto de Fatou de um mapa racional $f$ de grau $d\geq 2$. Então, a dinamica  de $f$ em $U$ é descrita por uma das seguintes possibilidades abaixo:
-**(i)** (Bacia de Atração) Existe um ponto fixo atrator em $w\in U$ e $U$ é sua bacia imediata;
+**(i)** (Bacia de Atração) Existe um ponto fixo atrator em $w\in U$ e $U$ é sua bacia de atração imediata;
-**(ii)**(Bácia Super-atratora) Existe um ponto fixo super-atrator em $U$ e $U$ é sua bácia imediata;
+**(ii)** (Bacia Super-atratora) Existe um ponto fixo super-atrator em $U$ e $U$ é sua bacia de atração imediata;
-**(iii)**(Bacia Parabólica) Existe um ponto fixo $w$ de $f$ no bordo de $U$ e $f^{n}(z)\rightarrow w$, para todo $z\in U$.
+**(iii)** (Bacia Parabólica) Existe um ponto fixo parabólico $w$ de $f$ no bordo de $U$ e $U$ é uma componente de sua bacia de atração imediata;
-**(iv)**(Disco de Siegel) Existe um biholomorfismo $\varphi :U\rightarrow \mathbb{D}$ que conjuga $f$ com uma rotação irracional do disco.
+**(iv)** (Disco de Siegel) Existe um biholomorfismo $\varphi :U\rightarrow \mathbb{D}$ que conjuga $f$ com uma rotação irracional do disco.
-**(v)**(Anel de Herman) Existe um biholomorfismo $\varphi :U\rightarrow A_{R}$, onde $A_{R}$ é um anel topológico (i.e uma superfície de Riemann de grupo fundamental isomorfo a $\mathbb{Z}$) que conjuga $f$ a uma rotação irracional do anel.
+**(v)** (Anel de Herman) Existe um biholomorfismo $\varphi :U\rightarrow A_{R}$, onde $A_{R}$ é um anel, que conjuga $f$ a uma rotação irracional do anel.
 ===== O Teorema dos Domínios não-errantes de Sullivan=====
+O teorema dos Domínios não-errantes foi um verdadeiro divisor de águas na dinamica holomorfa. Era uma conjectura proposta por Fatou e Julia no inicio do século XX, onde os mesmos se perguntavam se existiam componentes estáveis que possuíam algum tipo de recorrência (no sentido de primeiro mapa de retorno), porém as ferramentas que existam na época não eram suficientes para dar uma resposta à pergunta. De fato, passaram-se cerca de 70 anos até obtermos uma resposta concreta.
+Lembremos que uma componente $U$ do conjunto de Fatou de um mapa racional $f$ é dita **errante** se as imagens $f^{n}(U)$, $n\geq 0$, são disjuntas dois a dois. A pergunta de Fatou e Julia era, mais precisamente, se todas as componentes do Fatou eram **não-errantes**. E de fato, foi provado no artigo **Quasiconformal Homeomorphisms and Dynamics I. Solution of the Fatou-Julia Problem on Wandering Domains**, do matemático americando Dennis Sullivan, que a conjectura era verdadeira, ou seja, toda componente do Fatou se torna, após uma certa quantidade de iterados, periódica. Mais precisamente:
+**Teorema (Sullivan):** Seja $f:\overline{\mathbb{C}}\rightarrow \overline{\mathbb{C}}$ um mapa racional de grau $d\geq 2$. Então, toda componente conexa do conjunto de Fatou é eventualmente periódica.
+A demonstração desse teorema involveu a introdução de uma ferramenta fundamental na área, os chamados homeomorfismos quase conformes. De certa maneira, esses são objetos naturais para se trabalhar, pois se comportam bem com a dinâmica e são mensuráveis. Um definição possível é a seguinte:
+**Definição:** Um homeomorfismo $f:U\rightarrow V$, onde $U,V$ são domínios de $\mathbb{C}$, é dito **$K-$quase conforme** se possui derivadas parciais em $L^{2}_{loc}(U)$ satisfazendo
+\[ |\overline{\partial}f|\leq \frac{K - 1}{K + 1} |\partial f|. \]