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 Note que $G$ está definida em uma vizinhança $V$ de $0$ e que, dado $z \in V$, vale $G(f(z)) = \log|\varphi(f(z))| = \log|\varphi(z)^k| =$ $kG(z)$. Dado agora $z \in W$, existe $n \geq 1$ tal que $f^n(z) \in V$ e portanto está bem definida $G(f^n(z)) = \log|\varphi(f^k(z))|$. Desta forma, podemos estender $G$ colocando $G(z) := G(f^n(z))/n$, e o fato de $G$ obedecer à equação funcional em $V$ nos garante que essa extensão está bem definida. Observe que a equação funcional segue diretamente dessa definição. Derivando a relação $G(f(z)) = kG(z)$, concluímos a afirmação sobre os pólos de $G$.
-Note que a equação funcional implica que $G(z) < 0$ para todo $z \in W$: pois $f^n(z)\xrightarrow 0$ e portanto $G(f^n(z)) = k^nG(z)\xrightarrow -\infty$. Considere então, para todo $\rho \in (-\infty, 0)$, a componente conexa $W_{\rho}\subset W$ do conjunto $\{z\in W ; G(z) < \log{\rho}\}$ que contém $0$ e seja $\rho_{0}$ o supremo dos números $\rho$ tais que $W_{\rho}$ não contém ponto crítico diferente de $0$.
+Note que a equação funcional implica que $G(z) < 0$ para todo $z \in W$: pois $f^n(z)\xrightarrow{} 0$ e portanto $G(f^n(z)) = k^nG(z)\xrightarrow{} -\infty$. Considere então, para todo $\rho \in (-\infty, 0)$, a componente conexa $W_{\rho}\subset W$ do conjunto $\{z\in W ; G(z) < \log{\rho}\}$ que contém $0$ e seja $\rho_{0}$ o supremo dos números $\rho$ tais que $W_{\rho}$ não contém ponto crítico diferente de $0$.
 **Proposição:**
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 **Demonstração:**
-De fato, existe um $n$ suficientemente grande tal que $W_{\rho_{0}^{n}}$ esta contido no domínio de definição do mapa de Bottcher $\varphi$. Assim, queremos estender $\varphi$ sucessivamente aos conjuntos encaixados $W_{\rho_0^n} \subset W_{\rho_{0}^{n-1}}\subset W_{\rho_{0}^{n-2}}\subset ... \subset W_{\rho_{0}}$, e é suficiente provarmos o resultado para a primeira extensão (as outras são análogas). Observe que a restrição $f:W_{\rho_{0}^{n-1}}\rightarrow W_{\rho_{0}^{n}}$ é um mapa de recobrimento com $k$ folhas ramificado na origem, uma vez que $W_{\rho_{0}^{n-1}}\cap \mathcal{C}_{f} = \{0\}$. Como $z\mapsto z^{k}$, como um mapa dos discos $D_{\rho_{0}^{n-1}}\rightarrow D_{\rho_{0}^{n}}$, é também um recobrimento com $k$ folhas ramificado na origem, existem $k$ mapas diferentes $g_{i}, i = 1, \dots, k$ que semi-conjugam $f$ com $z \mapsto z^{k}$, e tais mapas diferem apenas por pós-composição com $k-$ésima raíz da unidade. Um desses $g_{i}$ deve então coincidir com $\varphi$ em $W_{\rho_{0}^{n}}\subset W_{\rho_{0}^{n-1}}$, nos garantindo a extensão desejada.
+De fato, existe um $n$ suficientemente grande tal que $W_{\rho_{0}^{n}}$ esta contido no domínio de definição do mapa de Bottcher $\varphi$. Assim, queremos estender $\varphi$ sucessivamente aos conjuntos encaixados $W_{\rho_0^n} \subset W_{\rho_{0}^{n-1}}\subset W_{\rho_{0}^{n-2}}\subset ... \subset W_{\rho_{0}}$, e é suficiente provarmos o resultado para a primeira extensão (as outras são análogas). Observe que a restrição $f:W_{\rho_{0}^{n-1}}\rightarrow W_{\rho_{0}^{n}}$ é um mapa de recobrimento com $k$ folhas ramificado na origem, uma vez que $W_{\rho_{0}^{n-1}}\cap \mathcal{C}_{f} = \{0\}$. Como $z\mapsto z^{k}$, como um mapa dos discos $D_{\rho_{0}^{n-1}}\rightarrow D_{\rho_{0}^{n}}$, é também um recobrimento com $k$ folhas ramificado na origem, existem $k$ mapas distintos $g_{i}, i = 1, \dots, k$, que semi-conjugam $f$ com $z \mapsto z^{k}$, e tais mapas diferem apenas por pós-composição com $k-$ésima raíz da unidade. Um desses $g_{i}$ deve então coincidir com $\varphi$ em $W_{\rho_{0}^{n}}\subset W_{\rho_{0}^{n-1}}$, nos garantindo a extensão desejada.
-====== Pontos fixos indiferentes ======
+====== Pontos fixos parabólicos ======
-Se um ponto periódico $z$ é indiferente, o seu multiplicador $\rho$ é da forma $e^{2i\pi\theta}$. Dizemos que $z$ é: **racionalmente periódico** (ou **parabólico**) se $\theta$ é racional; **irracionalmente periódico** se $\theta$ é irracional
+Se $f$ tem ponto fixo em $z$ e seu multiplicador $\rho$ é da forma $e^{2i\pi\theta}$ com $\theta = p/q \in \mathbb{Q}$, dizemos que $z$ é ponto fixo **racionalmente indiferente** ou **parabólico**. Sem perda de generalidade, trabalharemos com o caso $z = 0$. Então podemos escrever $f(z) = \rho z(1 + bz^r + O(z^{r+1}))$; o número $r$ é chamado de **multiplicidade parabólica** do ponto fixo. Infelizmente, diferente dos casos atrator, super-atrator e repulsor, não temos uma forma canônica simples para $f$ (o melhor que podemos fazer no geral é conjugar $f$ com um mapa $z \mapsto \rho z(1 + bz^r + cz^{2r-1} + O(z^n))$ com $n$ arbitrariamente grande). Ainda assim, podemos entender a dinâmica de $f$ em torno de $0$. Para tanto, defina os **eixos atratores** de $f$ em $0$ como as direções $v$ (pensadas no espaço tangente) para as quais $bv^r \in (-\infty, 0)$, e os **eixos repulsores** como as direções para as quais $bv^r \in (0, \infty)$. Note que (ao considerarmos vetores normais) temos $r$ direções atratoras e $r$ direções repulsoras e todas elas juntas formam um conjunto de $2r$ pontos de $\mathbb{S}^1$ igualmente espaçados; sejam então $v_1, v_2, \dots, v_{2r}$ essas direções em ordem cíclica, onde os índices ímpares são atratores e os índices pares, repulsores (a única escolha que temos a fazer aqui é da direção $v_1$). Vamos primeiro entender o caso em que $\rho = 1$ (ou seja, o denominador $q$ é igual a $1$):
-Suponha agora que a origem é um ponto fixo para $f$ de período $k$ e cujo multiplicador é da forma $\rho = e^{2i\pi\frac{p}{q}}$, onde $p$ e $q$ são primos relativos. Assim, $f^{kq}$ é tangente a identidade em $0$, isto é $(f^{kq})'(0) = 1 $. Podemos então encontrar $Q$ semi-retas partindo da origem chamados de **eixos atratores**, e alternativamente também podemos encontrar $Q$ semi-retas chamadas de **eixos repulsores**, onde $Q$ é um múltiplo de $q$ com a seguinte propriedade fundamental:Se $z\rightarrow 0$ ao longo de um eixo atrator(repulsor), então $f^{kq}(z)\rightarrow 0$ ($f^{kq}(z)$ tende para longe de $0$). Estes eixos são determinados da seguinte maneira:
+**Teorema (Flor de Leau-Fatou):** Seja $f(z) = z(1 + bz^r + O(z^{r+1}))$ em vizinhança de $0$ e $v_1, \dots, v_{
-Escrevendo $f^{kq}$ em série , temos que $f^{kq}(z) = z(1+cz^{Q}+\mathcal{O}(z^{Q+1})$, para algum $c\neq 0$, e $Q\geq 1$. Assim, os valores para os quais a expressão $cz^{Q}$ é um número real negativo (resp. positivo) formam o eixo atrator (resp. eixo repulsor).
+r}$ as direções atratoras e repulsoras de $f$ em $0$. Então existem abertos $\mathcal{P}_1, \dots, \mathcal{P}_{2r}$ e mapas conformes $\varphi_i: \mathcal{P}_i \to \mathbb{H}_i$, onde $\mathbb{H}_i = \{z \in \mathbb{C} \ | \ Re(z) > 0\}$ se $i$ é ímpar e $\mathbb{H}_i = \{z \in \mathbb{C} \ | \ Re(z) < 0\}$ se $i$ é par, tais que:
+  - $0 \in \partial \mathcal{P}_i$ e $\cup_{i=1}^{2r}\mathcal{P}_i\cup \{0\}$ é uma vizinhança de $0$;
+  - $\mathcal{P}_i\cap \mathcal{P}_j \neq \emptyset$ se e só se $i - j = \pm 1 \mod(2r)$;
+  - $f(\mathcal{P}_i) \subset \mathcal{P}_i$ se $i$ é ímpar e $\mathcal{P}_i \subset f(\mathcal{P}_i)$ se $i$ é par;
+  - $\varphi_i$ conjuga a ação de $f$ em $\mathcal{P}_i$ com a de $z \mapsto z + 1$ em $\mathbb{H}_i$;
+  - $f^n(z) \xrightarrow{} 0$ pela direção $v_i$ se $z \in \mathcal{P}_i$ e $i$ é ímpar;
+  - $f^{-n}(z) \xrightarrow{} 0$ pela direção $v_i$ se $z \in \mathcal{P}_i$ e $i$ é par;
+  - os mapas $\varphi_i$ são únicos a menos de composição com translação.
-A derivada $z\mapsto \rho.z$ age nos eixos dinâmicos, levando eixos repulsores em eixos repulsores, e eixos atratores em eixos atratores. Seja $L$ um eixo atrator. Então, existem pontos $z$ tais que $f^{kqn}(z)\rightarrow 0$ tangencialmente a $L$, e este conjunto de pontos, digamos $A_{L}$, formam um subconjunto aberto que contém um segmento $L$ com uma extremidade em $0$. $A_{L}$ é a bácia de atração de $L$, e bácia imediata de $L$ a componente conexa que contém a origem.
+A demonstração segue uma ideia similar aos teoremas de Koenigs e Böttcher (encontrar sequência de semi-conjugações que converge para uma conjugação verdadeira), mas isso é aplicado apenas após uma mudança de coordenadas do tipo $z \mapsto -1/brz^r$, que manda $0$ em $\infty$ (note que essa função não é uma mudança de coordenadas de fato, já que tem grau $r$; entendemos essa mudança de coordenadas em "setores" em torno de $0$ que cobrem o plano menos uma das semi-retas $\mathbb{R}_+$ ou $\mathbb{R}_-$, dependendo se estamos no caso atrator ou repulsor). Embora a ideia seja a mesma, as contas para demonstrar convergência da sequência de semi-conjugações é muito mais fina neste caso. Os $\mathcal{P}_i$ com $i$ ímpar são chamados de **pétalas atratoras**, enquanto que os com $i$ par são **pétalas repulsoras**. Por argumentos similares aos que concluem existência de ponto crítico em bacia de atração do infinito, obtemos:
-**Teorema (Fatou-Julia):** A bacia imediata de um ciclo parabólico sempre contém um ponto crítico.
+**Corolário:** Cada pétala atratora contém um ponto crítico.
-**diofantino** se $\theta$ é diofantino, i.e. um número irracional que satisfaz
+Voltemos agora ao caso em que o multiplicador é $\rho = e^{2\pi ip/q}$ para qualquer $q \geq 1$. Então o mapa $f^q$ tem $0$ como ponto fixo parabólico com multiplicador $1$, e vale o teorema da flor de Leau-Fatou. Como a derivada de $f$ é $\rho$, ela age por rotação nas direções atratoras em torno do $0$, e essa ação tem ordem exatamente $q$. Isso significa que as $r$ pétalas atratoras são divididas em ciclos de $q$ pétalas permutadas pela ação de $f$. Sabendo que cada pétala contém um ponto crítico de $f^q$, podemos concluir daí que cada ciclo de $q$ pétalas contém um ponto crítico de $f$. No caso em que $f$ é um polinômio, ela tem no máximo $d - 1$ pontos críticos no plano, e portanto tiramos que:
+**Corolário:** $r = \nu q$, $\nu \in \{1, \dots, d - 1\}$.
+No caso em que o ponto é periódico de período $k$ e o ciclo é racionalmente indiferente, temos um conjunto de pétalas em torno de cada ponto do ciclo, que são permutadas entre si pelo mapa $f^k$, e que são fixadas pelo mapa $f^{qk}$.
+====== Pontos fixos irracionalmente indiferentes ======
+No caso irracionalmetne indiferente, a situação é bem mais delicada. Seja $f(0) = 0$ e $f'(0) = e^{2i\pi\theta}$, $\theta \notin \mathbb{Q}$. Vamos dizer que $0$ é ponto fixo: **diofantino** se $\theta$ é diofantino, i.e. um número irracional que satisfaz
 \[ \left| \theta- \frac{p}{q} \right| \geq C/q^{\nu} \]
-para constantes $C>0$ e $\nu \geq 2$ e qualquer número racional $p/q\in\mathbb{Q}$. Dizemos ainda que $z$ é **linearizável** ou **de Siegel** se existe um difeomorfismo $\varphi$ de uma vizinhança $V$ de $z$ em um disco tal que $\varphi\circ f^{n}\circ \varphi^{-1}$ é da forma $z\mapsto \rho z$. O maior domínio $V$ de linearização é chamado de **disco de Siegel**. Um resultado fundamental (e difícil) nesta ordem de ideias é o seguinte:
+para constantes $C>0$ e $\nu \geq 2$ e qualquer número racional $p/q\in\mathbb{Q}$; **linearizável** ou **de Siegel** se existe um difeomorfismo $\varphi$ de uma vizinhança $V$ de $z$ em um disco tal que $\varphi\circ f^{n}\circ \varphi^{-1}$ é da forma $z\mapsto \rho z$. O maior domínio $V$ de linearização é chamado de **disco de Siegel**. Um resultado fundamental (e difícil) nesta ordem de ideias é o seguinte:
 **Teorema (Siegel-1942)**: Todo ponto periódico diofantino é linearizável.