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 \end{array} \]
 Uma vez que temos $\frac{C_{2}^{2}|z|}{|\lambda|} < r < 1$, isto nos mostra que a sequencia de mapas acima é uniformemente de Cauchy, e portanto converge uniformemente em $V$. Defina agora $\varphi(z) := \lim_{n\rightarrow \infty}\varphi_{n}(z)$. Observe que $\varphi'(0) = 1$, uma vez que $\varphi(z) = z + O(z)$. Assim, o mapa $\varphi$ resolve a nossa equação funcional do enunciado, pois
-$$\varphi(f(z)) = \lim_{n\rightarrow \infty}\varphi_{n}(f(z)) = \lim_{n\rightarrow \infty}\frac{f^{\circ n}(f(z))}{\lambda^{n}} = \lambda\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{f^{\circ n+1}(z)}{\lambda^{n+1}} = \lambda \varphi(z)$$
+$$\varphi(f(z)) = \lim_{n\rightarrow \infty}\varphi_{n}(f(z)) = \lim_{n\rightarrow \infty}\frac{f^{n}(f(z))}{\lambda^{n}} = \lambda\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{f^{n+1}(z)}{\lambda^{n+1}} = \lambda \varphi(z)$$
 Ou seja, $\varphi(f(z)) = \lambda \varphi(z)$, como queríamos. Resta mostrarmos a unicidade do mapa $\varphi$. Com efeito, seja $\psi: W\rightarrow \psi(W)$ um mapa biholomorfo que conjuga a nossa aplicação $f$. Se denotarmos por $M_{\lambda}$ a multiplicação por $\lambda$, tem-se então que
 $$M_{\lambda}\circ \psi \circ \varphi^{-1}(z) = \psi \circ f \circ \varphi^{-1}(z) = \psi \circ \varphi^{-1} \circ M_{\lambda}(z)$$
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 **Demonstração:**
 Já sabemos que a sequencia $\{\varphi_{n}\}_{n\in \mathbb{N}}$ é uma sequencia que converge uniformemente em uma vizinhança $V$ de $z_{0}$, uma vez que a sequencia é a mesma da prova anterior, trocando apenas o ponto fixo. Seja $K\subset U$ um subconjunto compacto. Então existe um inteiro $m$ tal que $f^{m}(K)\subset V$, e portanto para todo $z\in K$ tem-se que
-$$\lim_{n\to\infty}\frac{f^{n}(z) - z_{0}}{f'(z_{0})^{n}} = \lim_{n\to\infty}\frac{f^{\circ n}(f^{\circ m}(z)) - z_{0}}{f'(z_{0})^{n+m}} = \frac{1}{f'(z_{0})^{m}}\lim_{n\to\infty}\frac{f^{\circ n}(f^{\circ m}(z)) - z_{0}}{f'(z_{0})^{n}} = \frac{1}{f'(z_{0})^{m}}\varphi(f^{\circ m}(z))$$
+$$\lim_{n\to\infty}\frac{f^{n}(z) - z_{0}}{f'(z_{0})^{n}} = \lim_{n\to\infty}\frac{f^{n}(f^{m}(z)) - z_{0}}{f'(z_{0})^{n+m}} = \frac{1}{f'(z_{0})^{m}}\lim_{n\to\infty}\frac{f^{n}(f^{m}(z)) - z_{0}}{f'(z_{0})^{n}} = \frac{1}{f'(z_{0})^{m}}\varphi(f^{m}(z))$$
 Logo, a convergencia é uniforme em compactos. A equação funcional segue trivialmente.
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 O mapa $\varphi$ acima é chamado de mapa de Böttcher (ou Coordenada de Böttcher). Uma observação é que o mapa de Böttcher é único a menos de multiplicação por uma raíz $(k-1)$-ésima da unidade.
-**Demonstração:** A filosofia novamente é construir uma sequencia de mapas que satisfazem a equação funcional de conjugação acima. Neste caso, somos tentados a definir a seguinte sequencia $\varphi_{n}(z) := (f^{\circ n}(z))^{1/k^{n}}$ e provemos que a mesma converge uniformemente à um limite holomorfo $\varphi$. Porém, neste caso, não temos somente um problema de convergencia, mas também um problema de especificação raíz $k-$ésima que estamos utilizando. Observe que podemos tornar a sequencia em um produto telescópico:
+**Demonstração:** A filosofia novamente é construir uma sequencia de mapas que satisfazem a equação funcional de conjugação acima. Neste caso, somos tentados a definir a sequência $\varphi_{n}(z) := (f^{n}(z))^{1/k^{n}}$ para tomar seu limite. Porém, neste caso, não temos somente um problema de convergencia, mas também um problema de especificação da raíz $k-$ésima que estamos utilizando. Observe que podemos tornar a sequencia em um produto telescópico
-$$f^{\circ n}(z))^{1/k^{n}} = z\frac{f(z)^{1/k}}{z}\frac{f^{\circ 2}(z)^{1/k^{2}}}{f(z)^{1/k}}....\frac{f^{\circ n}(z)^{1/k^{n}}}{f^{\circ n-1}(z)^{1/k^{n-1}}}$$
+$$(f^{n}(z))^{1/k^{n}} = z\frac{f(z)^{1/k}}{z}\frac{f^{2}(z)^{1/k^{2}}}{f(z)^{1/k}}....\frac{f^{n}(z)^{1/k^{n}}}{f^{n-1}(z)^{1/k^{n-1}}}$$
-De modo que o termo geral do produto é da forma $\frac{f^{\circ n}(z)^{1/k^{n}}}{f^{\circ n-1}(z)^{1/k^{n-1}}} = \frac{\Big((f^{\circ n-1}(z)^{k})(1+g(f^{\circ n-1}(z))\Big)^{1/k^{n}}}{f^{\circ n-1}(z)^{1/k^{n-1}}} = \frac{f^{\circ n}(z)^{1/k^{n}}}{f^{\circ n-1}(z)^{1/k^{n-1}}} = (1+g(f^{\circ n-1}(z))^{1/k^{n}}$, deste modo, se conseguirmos provar que existe um $\rho > 0$ tal que quando $|z|\leq \rho$ obtivermos $|g(f^{\circ n-1}(z))| < 1$, podemos utilizar o ramo analítico principal da raiz em todos os termos do produto $\varphi_{n}(z) = \prod_{i=1}^{n}(1+g(f^{\circ i-1}(z))^{1/k^{i}}$ e livrarmos da indeterminação raíz. Com efeito, escolha primeiro $\rho_{1}>0$ e uma constante $C$ tal que $|g(z)| < C|z|$, para todo $z\in D_{\rho_{1}}(0)$. Seja agora $\rho_{2}$ a raíz positiva da equação $x^{k-1}(1+Cx) = 1$, e ponha $\rho := min\{\rho_{1}, \rho_{2}, 1/2C\}$ de modo que se $|z| < \rho$, temos que $$|f(z)| = |z|^{k}|1+g(z)|\leq |z|^{k}(1+|g(z)| )\leq |z||z|^{k-1}(1+C\rho)\leq |z|$$
+de modo que o termo geral do produto é da forma
-Assim, temos que para todo $n$ $|f^{\circ n}(z)| \leq \rho$ e portanto $|g(f^{\circ n-1}(z))|\leq C|f^{\circ n-1}(z)|\leq C\rho\leq 1/2$. Logo, para todo $z\in D_{\rho}(0)$ o ramo principal analítico de $1+g(f^{\circ n-1}(z))^{1/k^{n}}$ está bem definido para todos os valores de $n$. Observe que como o valor máximo de $|ln(1+w)|$ sempre que $|w|\leq 1/2$ é $ln2$, então vale que $$\Big|ln|1+g(f^{\circ n-1}(z))^{1/k^{n}}|\Big| = \frac{1}{k^{n}}|ln|1+g(f^{\circ n-1}(z))|\leq \frac{ln2}{k^{n}}$$
+$$\frac{f^{n}(z)^{1/k^{n}}}{f^{n-1}(z)^{1/k^{n-1}}} = \frac{\Big((f^{n-1}(z)^{k})(1+g(f^{n-1}(z))\Big)^{1/k^{n}}}{f^{n-1}(z)^{1/k^{n-1}}} = (1+g(f^{n-1}(z)))^{1/k^{n}}$$
-e portanto o termo geral do produto converge, logo a sequencia converge uniformemente, como queríamos.
+Deste modo, se conseguirmos provar que existe um $\rho > 0$ tal que quando $|z|\leq \rho$ obtemos $|g(f^{n-1}(z))| < 1$, podemos utilizar o ramo analítico principal da raiz em todos os termos do produto $\varphi_{n}(z) = \prod_{i=1}^{n}(1+g(f^{i-1}(z))^{1/k^{i}}$. Com efeito, escolha primeiro $\rho_{1}>0$ e uma constante $C$ tal que $|g(z)| < C|z|$, para todo $z\in D_{\rho_{1}}(0)$. Seja agora $\rho_{2}$ a raíz positiva da equação $x^{k-1}(1+Cx) = 1$, e ponha $\rho := min\{\rho_{1}, \rho_{2}, 1/2C\}$ de modo que se $|z| < \rho$, temos que $$|f(z)| = |z|^{k}|1+g(z)|\leq |z|^{k}(1+|g(z)| )\leq |z||z|^{k-1}(1+C\rho)\leq |z|$$
+Assim, temos que para todo $n$, $|f^{n}(z)| \leq \rho$ e portanto $|g(f^{n-1}(z))|\leq C|f^{n-1}(z)|\leq C\rho\leq 1/2$. Logo, para todo $z\in D_{\rho}(0)$ o ramo principal analítico de $1+g(f^{n-1}(z))^{1/k^{n}}$ está bem definido para todos os valores de $n$. Observe que como o valor máximo de $|\log(1+w)|$ sempre que $|w|\leq 1/2$ é $\log 2$, então vale que
+$$\Big|\log|1+g(f^{n-1}(z))|^{1/k^{n}}\Big| = \frac{1}{k^{n}}|\log|1+g(f^{n-1}(z))|| \leq \frac{\log 2}{k^{n}}$$
+e portanto o produtório $\varphi(z) := \prod_{n\geq 1}(1 + g(f^{n-1}(z)))^{1/k^n}$ converge e é o limite da sequencia $\varphi_n$, como queríamos.
-Vamos agora tentar entender o domínio total do mapa de Böttcher para uma bacia super-atratora, diferente do caso linearizável, o mapa de Böttcher não se extende a toda bacia de atração de um ponto fixo super-atrator. Por outro lado, se assumirmos que o valor $-\infty$ possa ser tomado, podemos definir algo semelhante, as chamadas **funções de Green**.
+Vamos agora tentar entender o domínio total do mapa de Böttcher para uma bacia super-atratora. Diferente do caso linearizável, o mapa de Böttcher não se estende a toda bacia de atração de um ponto fixo super-atrator, mas seu potencial associado, a chamada **função de Green**, sim.
-**Teorema(Funções de Green dinâmicamente definida):** Seja $f:\mathbb{C}\rightarrow\mathbb{C}$ um polinômio e suponha que $f(0)=0$ e $f(z)=z^{k}(1+g(z))$, onde $k\geq 2$, onde $g\in \mathcal{O}(z)$ perto da origem. Seja $W$ a bacia de atração de $0$. Então, a sequencia de funções $n\mapsto G_{n}:W\rightarrow [-\infty,\infty)$ definida por $G_{n}(z) = \frac{1}{k^{n}}\ln|f^{\circ n}(z)|$ converge uniformemente em subconjuntos compactos de $W$, com pólos logaritmicos em um subconjunto $Z\subset W$ de pontos $z$ tais que $f^{\circ n}(z) = 0$, para algum $n$. Mais ainda, o limite $G:= \lim_{n\to \infty}G_{n}$ satisfaz a equação funcional $G(f(z)) = kG(z)$.
+**Teorema(Funções de Green dinâmicamente definida):** Seja $f:\mathbb{C}\rightarrow\mathbb{C}$ um polinômio e suponha que $f(0)=0$ e $f(z)=z^{k}(1+g(z))$, onde $k\geq 2$ e $g = \mathcal{O}(z)$ perto da origem. Seja $W$ a bacia de atração de $0$. Então a função $G(z) := \log|\varphi(z)|$, definida em vizinhança de $0$, se estende à toda bacia $W$, com pólos logarítmicos no subconjunto $Z\subset W$ de pontos $z$ tais que $f^{n}(z) = 0$, para algum $n$. Mais ainda, $G$ satisfaz à equação funcional $G(f(z)) = kG(z)$.
 **Demonstração:**
-Seja $V$ uma vizinhança tomada como no teorema de Bottcher acima, e considere as funções $\varphi_{n}$ dada por $\varphi_{n}(z) = (f^{\circ n}(z))^{1/k^{n}}$. Desta forma, no domínio de $\varphi_{n}$, temos que $G_{n}(z) = \frac{1}{k^{n}}\ln{|f^{\circ n}(z)|} = \ln{|\varphi_{n}(z)|}$. Assim, em qualquer compacto $K\subset W$ tal que $f^{\circ n}(K)\subset V$, temos então que $G_{n}(z) = \frac{1}{k^{m}}\ln{|\varphi_{n}(f^{\circ m}(z))|}$. Tomando o limite quando $n$ tende ao infinito, segue-se que a sequencia $n\mapsto G_{n}$ converge uniformemente em $K$. Observe que a equação funcional segue uma vez que $\varphi(f(z)) = \varphi(z)^{k}$, bastando tomar logarítmos em ambos os lados.
+Note que $G$ está definida em uma vizinhança $V$ de $0$ e que, dado $z \in V$, vale $G(f(z)) = \log|\varphi(f(z))| = \log|\varphi(z)^k| =$ $kG(z)$. Dado agora $z \in W$, existe $n \geq 1$ tal que $f^n(z) \in V$ e portanto está bem definida $G(f^n(z)) = \log|\varphi(f^k(z))|$. Desta forma, podemos estender $G$ colocando $G(z) := G(f^n(z))/n$, e o fato de $G$ obedecer à equação funcional em $V$ nos garante que essa extensão está bem definida. Observe que a equação funcional segue diretamente dessa definição. Derivando a relação $G(f(z)) = kG(z)$, concluímos a afirmação sobre os pólos de $G$.
-Considere agora , para todo $\rho\in (0,1]$ a componente conexa $W_{\rho}\subset W$ do conjunto $\{z\in W ; G(z) < \ln{\rho}\}$ que contém $0$ e seja $\rho_{0}$ o supremo dos números $\rho$ tais que a componente $W_{\rho_{0}}$ contém apenas o crítico $0$.
+Note que a equação funcional implica que $G(z) < 0$ para todo $z \in W$: pois $f^n(z)\xrightarrow{} 0$ e portanto $G(f^n(z)) = k^nG(z)\xrightarrow{} -\infty$. Considere então, para todo $\rho \in (-\infty, 0)$, a componente conexa $W_{\rho}\subset W$ do conjunto $\{z\in W ; G(z) < \log{\rho}\}$ que contém $0$ e seja $\rho_{0}$ o supremo dos números $\rho$ tais que $W_{\rho}$ não contém ponto crítico diferente de $0$.
 **Proposição:**
-A coordenada de bottcher $\varphi$ se extende a um isomorfismo analítico $\overline{\varphi}:W_{\rho_{0}}\rightarrow D_{e^{\rho_{0}}}$, onde $D_{e^{\rho_{0}}}$ é o disco de raio $e^{\rho_{0}}$. Se $W$ não contém pontos críticos a não ser a origem, então $\varphi$ é um biholomorfismo da bacia imediata de $0$ ao disco unitário $\mathbb{D}$.
+A coordenada de bottcher $\varphi$ se estende a um isomorfismo analítico $\overline{\varphi}: W_{\rho_{0}}\rightarrow D_{e^{\rho_{0}}}$, onde $D_{e^{\rho_{0}}}$ é o disco de raio $e^{\rho_{0}}$ centrado na origem. Se $W$ não contém pontos críticos a não ser a origem (i.e. $rho_0 = 0$), então $\varphi$ é um biholomorfismo da bacia de atração imediata de $0$ ao disco unitário $\mathbb{D}$.
 **Demonstração:**
-De fato, existe um $n$ suficientemente grande tal que $W_{\rho_{0}^{n}}$ esta contido no domínio de definição do mapa de Bottcher $\varphi$. Assim, extendendo sucessivamente $W_{\rho_{0}^{n-1}}\subset W_{\rho_{0}^{n-2}}\subset ... \subset W_{\rho_{0}}$, é suficiente provarmos o resultado para a primeira extensão. Observe que a restrição $f:W_{\rho_{0}^{n-1}}\rightarrow W_{\rho_{0}^{n}}$ é um mapa de recobrimento com $k$ folhas na origem, uma vez que $W_{\rho_{0}^{n-1}}\cap \mathcal{C}_{f} = \emptyset$, e como $z\mapsto z^{k}$, como um mapa dos discos $D_{\rho_{0}^{n-1}}\rightarrow D_{\rho_{0}^{n}}$ é também um recobrimento ramificado somente na origem. Assim, existem $k$ mapas diferentes $g_{i}$ que semi-conjuga $f$ e $z^{k}$ com $\varphi$, e tais mapas diferem por pós-composição com a $k-$ésima raíz da unidade. Um desses $g_{i}$ coincidem com $\varphi$ em $W_{\rho_{0}^{n}}\subset W_{\rho_{0}^{n-1}}$, nos garantindo a extensão desejada.
+De fato, existe um $n$ suficientemente grande tal que $W_{\rho_{0}^{n}}$ esta contido no domínio de definição do mapa de Bottcher $\varphi$. Assim, queremos estender $\varphi$ sucessivamente aos conjuntos encaixados $W_{\rho_0^n} \subset W_{\rho_{0}^{n-1}}\subset W_{\rho_{0}^{n-2}}\subset ... \subset W_{\rho_{0}}$, e é suficiente provarmos o resultado para a primeira extensão (as outras são análogas). Observe que a restrição $f:W_{\rho_{0}^{n-1}}\rightarrow W_{\rho_{0}^{n}}$ é um mapa de recobrimento com $k$ folhas ramificado na origem, uma vez que $W_{\rho_{0}^{n-1}}\cap \mathcal{C}_{f} = \{0\}$. Como $z\mapsto z^{k}$, como um mapa dos discos $D_{\rho_{0}^{n-1}}\rightarrow D_{\rho_{0}^{n}}$, é também um recobrimento com $k$ folhas ramificado na origem, existem $k$ mapas distintos $g_{i}, i = 1, \dots, k$, que semi-conjugam $f$ com $z \mapsto z^{k}$, e tais mapas diferem apenas por pós-composição com $k-$ésima raíz da unidade. Um desses $g_{i}$ deve então coincidir com $\varphi$ em $W_{\rho_{0}^{n}}\subset W_{\rho_{0}^{n-1}}$, nos garantindo a extensão desejada.
-====== Pontos fixos indiferentes ======
+====== Pontos fixos parabólicos ======
-Se um ponto periódico $z$ é indiferente, o seu multiplicador $\rho$ é da forma $e^{2i\pi\theta}$. Dizemos que $z$ é: **racionalmente periódico** (ou **parabólico**) se $\theta$ é racional; **irracionalmente periódico** se $\theta$ é irracional
+Se $f$ tem ponto fixo em $z$ e seu multiplicador $\rho$ é da forma $e^{2i\pi\theta}$ com $\theta = p/q \in \mathbb{Q}$, dizemos que $z$ é ponto fixo **racionalmente indiferente** ou **parabólico**. Sem perda de generalidade, trabalharemos com o caso $z = 0$. Então podemos escrever $f(z) = \rho z(1 + bz^r + O(z^{r+1}))$; o número $r$ é chamado de **multiplicidade parabólica** do ponto fixo. Infelizmente, diferente dos casos atrator, super-atrator e repulsor, não temos uma forma canônica simples para $f$ (o melhor que podemos fazer no geral é conjugar $f$ com um mapa $z \mapsto \rho z(1 + bz^r + cz^{2r-1} + O(z^n))$ com $n$ arbitrariamente grande). Ainda assim, podemos entender a dinâmica de $f$ em torno de $0$. Para tanto, defina os **eixos atratores** de $f$ em $0$ como as direções $v$ (pensadas no espaço tangente) para as quais $bv^r \in (-\infty, 0)$, e os **eixos repulsores** como as direções para as quais $bv^r \in (0, \infty)$. Note que (ao considerarmos vetores normais) temos $r$ direções atratoras e $r$ direções repulsoras e todas elas juntas formam um conjunto de $2r$ pontos de $\mathbb{S}^1$ igualmente espaçados; sejam então $v_1, v_2, \dots, v_{2r}$ essas direções em ordem cíclica, onde os índices ímpares são atratores e os índices pares, repulsores (a única escolha que temos a fazer aqui é da direção $v_1$). Vamos primeiro entender o caso em que $\rho = 1$ (ou seja, o denominador $q$ é igual a $1$):
-Suponha agora que a origem é um ponto fixo para $f$ de período $k$ e cujo multiplicador é da forma $\rho = e^{2i\pi\frac{p}{q}}$, onde $p$ e $q$ são primos relativos. Assim, $f^{kq}$ é tangente a identidade em $0$, isto é $(f^{kq})'(0) = 1 $. Podemos então encontrar $Q$ semi-retas partindo da origem chamados de **eixos atratores**, e alternativamente também podemos encontrar $Q$ semi-retas chamadas de **eixos repulsores**, onde $Q$ é um múltiplo de $q$ com a seguinte propriedade fundamental:Se $z\rightarrow 0$ ao longo de um eixo atrator(repulsor), então $f^{kq}(z)\rightarrow 0$ ($f^{kq}(z)$ tende para longe de $0$). Estes eixos são determinados da seguinte maneira:
+**Teorema (Flor de Leau-Fatou):** Seja $f(z) = z(1 + bz^r + O(z^{r+1}))$ em vizinhança de $0$ e $v_1, \dots, v_{
-Escrevendo $f^{kq}$ em série , temos que $f^{kq}(z) = z(1+cz^{Q}+\mathcal{O}(z^{Q+1})$, para algum $c\neq 0$, e $Q\geq 1$. Assim, os valores para os quais a expressão $cz^{Q}$ é um número real negativo (resp. positivo) formam o eixo atrator (resp. eixo repulsor).
+r}$ as direções atratoras e repulsoras de $f$ em $0$. Então existem abertos $\mathcal{P}_1, \dots, \mathcal{P}_{2r}$ e mapas conformes $\varphi_i: \mathcal{P}_i \to \mathbb{H}_i$, onde $\mathbb{H}_i = \{z \in \mathbb{C} \ | \ Re(z) > 0\}$ se $i$ é ímpar e $\mathbb{H}_i = \{z \in \mathbb{C} \ | \ Re(z) < 0\}$ se $i$ é par, tais que:
+  - $0 \in \partial \mathcal{P}_i$ e $\cup_{i=1}^{2r}\mathcal{P}_i\cup \{0\}$ é uma vizinhança de $0$;
+  - $\mathcal{P}_i\cap \mathcal{P}_j \neq \emptyset$ se e só se $i - j = \pm 1 \mod(2r)$;
+  - $f(\mathcal{P}_i) \subset \mathcal{P}_i$ se $i$ é ímpar e $\mathcal{P}_i \subset f(\mathcal{P}_i)$ se $i$ é par;
+  - $\varphi_i$ conjuga a ação de $f$ em $\mathcal{P}_i$ com a de $z \mapsto z + 1$ em $\mathbb{H}_i$;
+  - $f^n(z) \xrightarrow{} 0$ pela direção $v_i$ se $z \in \mathcal{P}_i$ e $i$ é ímpar;
+  - $f^{-n}(z) \xrightarrow{} 0$ pela direção $v_i$ se $z \in \mathcal{P}_i$ e $i$ é par;
+  - os mapas $\varphi_i$ são únicos a menos de composição com translação.
-A derivada $z\mapsto \rho.z$ age nos eixos dinâmicos, levando eixos repulsores em eixos repulsores, e eixos atratores em eixos atratores. Seja $L$ um eixo atrator. Então, existem pontos $z$ tais que $f^{kqn}(z)\rightarrow 0$ tangencialmente a $L$, e este conjunto de pontos, digamos $A_{L}$, formam um subconjunto aberto que contém um segmento $L$ com uma extremidade em $0$. $A_{L}$ é a bácia de atração de $L$, e bácia imediata de $L$ a componente conexa que contém a origem.
+A demonstração segue uma ideia similar aos teoremas de Koenigs e Böttcher (encontrar sequência de semi-conjugações que converge para uma conjugação verdadeira), mas isso é aplicado apenas após uma mudança de coordenadas do tipo $z \mapsto -1/brz^r$, que manda $0$ em $\infty$ (note que essa função não é uma mudança de coordenadas de fato, já que tem grau $r$; entendemos essa mudança de coordenadas em "setores" em torno de $0$ que cobrem o plano menos uma das semi-retas $\mathbb{R}_+$ ou $\mathbb{R}_-$, dependendo se estamos no caso atrator ou repulsor). Embora a ideia seja a mesma, as contas para demonstrar convergência da sequência de semi-conjugações é muito mais fina neste caso. Os $\mathcal{P}_i$ com $i$ ímpar são chamados de **pétalas atratoras**, enquanto que os com $i$ par são **pétalas repulsoras**. Por argumentos similares aos que concluem existência de ponto crítico em bacia de atração do infinito, obtemos:
-**Teorema (Fatou-Julia):** A bacia imediata de um ciclo parabólico sempre contém um ponto crítico.
+**Corolário:** Cada pétala atratora contém um ponto crítico.
-**diofantino** se $\theta$ é diofantino, i.e. um número irracional que satisfaz
+Voltemos agora ao caso em que o multiplicador é $\rho = e^{2\pi ip/q}$ para qualquer $q \geq 1$. Então o mapa $f^q$ tem $0$ como ponto fixo parabólico com multiplicador $1$, e vale o teorema da flor de Leau-Fatou. Como a derivada de $f$ é $\rho$, ela age por rotação nas direções atratoras em torno do $0$, e essa ação tem ordem exatamente $q$. Isso significa que as $r$ pétalas atratoras são divididas em ciclos de $q$ pétalas permutadas pela ação de $f$. Sabendo que cada pétala contém um ponto crítico de $f^q$, podemos concluir daí que cada ciclo de $q$ pétalas contém um ponto crítico de $f$. No caso em que $f$ é um polinômio, ela tem no máximo $d - 1$ pontos críticos no plano, e portanto tiramos que:
+**Corolário:** $r = \nu q$, $\nu \in \{1, \dots, d - 1\}$.
+No caso em que o ponto é periódico de período $k$ e o ciclo é racionalmente indiferente, temos um conjunto de pétalas em torno de cada ponto do ciclo, que são permutadas entre si pelo mapa $f^k$, e que são fixadas pelo mapa $f^{qk}$.
+====== Pontos fixos irracionalmente indiferentes ======
+No caso irracionalmetne indiferente, a situação é bem mais delicada. Seja $f(0) = 0$ e $f'(0) = e^{2i\pi\theta}$, $\theta \notin \mathbb{Q}$. Vamos dizer que $0$ é ponto fixo: **diofantino** se $\theta$ é diofantino, i.e. um número irracional que satisfaz
 \[ \left| \theta- \frac{p}{q} \right| \geq C/q^{\nu} \]
-para constantes $C>0$ e $\nu \geq 2$ e qualquer número racional $p/q\in\mathbb{Q}$. Dizemos ainda que $z$ é **linearizável** ou **de Siegel** se existe um difeomorfismo $\varphi$ de uma vizinhança $V$ de $z$ em um disco tal que $\varphi\circ f^{n}\circ \varphi^{-1}$ é da forma $z\mapsto \rho z$. O maior domínio $V$ de linearização é chamado de **disco de Siegel**. Um resultado fundamental (e difícil) nesta ordem de ideias é o seguinte:
+para constantes $C>0$ e $\nu \geq 2$ e qualquer número racional $p/q\in\mathbb{Q}$; **linearizável** ou **de Siegel** se existe um difeomorfismo $\varphi$ de uma vizinhança $V$ de $z$ em um disco tal que $\varphi\circ f^{n}\circ \varphi^{-1}$ é da forma $z\mapsto \rho z$. O maior domínio $V$ de linearização é chamado de **disco de Siegel**. Um resultado fundamental (e difícil) nesta ordem de ideias é o seguinte:
 **Teorema (Siegel-1942)**: Todo ponto periódico diofantino é linearizável.