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-Dinâmica de Polinômios: Teoria Local
+Teoria local: dinâmica perto de pontos periódicos
-Nesta seção iremos introduzir da dinâmica dos polinômios como endomorfismos analíticos de $\mathbb{C}$, onde muitos dos resultados são análogos ao caso geral de mapas racionais na esfera de Riemann.
 ====== Terminologia e algumas noções ======
 Vamos começar com algumas notações clássicas:
-Seja $f:\mathbb{C}\rightarrow\mathbb{C}$ um polinômio (ou uma função holomorfa). Um **Ponto periódico** é um ponto $z\in \mathbb{C}$ tal que existe um $n>0$ para o qual vale que $f^{(n)}(z)=z$. O menor $n$ tal que vale essa propriedade é chamado de período de $z$. O \textbf{ciclo} de $z$ é o conjunto $\{z_{0},...,z_{k-1}\}$, onde $f^{(i)}(z)=z_{i}$ e o **multiplicador** desse ciclo é o número $\rho = (f^{k})'(z) = \prod f'(z_{i})$.
+Seja $f: U \subseteq \overline{\mathbb{C}}\rightarrow U$ um mapa holomorfo. Um **ponto periódico** é um ponto $z\in \mathbb{C}$ tal que existe um $k>0$ para o qual vale que $f^k(z)=z$. O menor $k$ tal que vale essa propriedade é chamado de **período** de $z$. O **ciclo** de $z$ é o conjunto $\{z_{0},...,z_{k-1}\}$, onde $z_{i}:=f^i(z)$ e o **multiplicador** desse ciclo é o número $\rho = (f^{k})'(z) = \prod f'(z_{i})$. Ainda, um ponto $z$ é dito **pré-periódico** se existe um inteiro $l$ tal que $f^{l}(z)$ é periódico.
-Seja $U\subset\mathbb{C}$ uma vizinhança de um ponto $z_{0}$ o qual é fixo para um mapa analítico $f:U\rightarrow\mathbb{C}$. Então, se $|z-z_{0}|$ for suficientemente pequeno, então $f(z-z_{0})$ é aproximadamente $f'(z_{0})(z-z_{0})$, de modo que se $|f'(z_{0})| < 1$, então $|f(z-z_{0})|<|z-z_{0}|$, caso contrário, $|f(z-z_{0})|>|z-z_{0}|$, de modo que podemos ter a seguinte definição:
+Seja $U\subset\mathbb{C}$ uma vizinhança de um ponto $z_{0}$ fixo para um mapa analítico $f:U\rightarrow U$. Então, se $|z-z_{0}|$ for suficientemente pequeno, $f(z-z_{0})$ é aproximadamente $f'(z_{0})(z-z_{0})$, de modo que se $|f'(z_{0})| < 1$, então $|f(z-z_{0})|<|z-z_{0}|$; caso tenhamos $|f'(z_0)| > 1$, então vale $|f(z-z_{0})|>|z-z_{0}|$, de modo que podemos fazer a seguinte definição:
-Um ciclo é dito **atrator** (resp. **repulsor**) ou **indiferente** se $|\rho|<1$ (resp. $|\rho|>1$) ou $|\rho| = 1$. Um ponto periódico é dito \textbf{super-atrator} se $\rho = 0 $, ou seja, existe um ponto crítico no ciclo. Um ponto $z$ é dito \textbf{pré-periódico} se existe um inteiro $l$ tal que $f^{(l)}(z)$ é periódico.
+Um ciclo é dito **atrator** (resp. **repulsor**, **indiferente**) se $|\rho|<1$ (resp. $|\rho|>1$, $|\rho| = 1$). Um ponto periódico é dito **super-atrator** se $\rho = 0 $, ou seja, existe um ponto crítico no ciclo.
-Se $z$ é um ponto periódico, definimos a **bacia** de atração de $z$ como sendo o conjunto dos pontos $w$ tais que $f^{(nk)}(w)\rightarrow z$, quando $n\rightarrow \infty$. Chamamos de **Bacia imediata** de atração a componente conexa da bacia de atração que contém o ponto periódico.
+Veremos agora que o multiplicador de um ciclo periódico é o fator mais importante para determinar o comportamento local da dinâmica.
-Se um ponto periódico $z$ é indiferente, o seu multiplicador $\rho$ é da forma $e^{2i\pi\theta}$. Dizemos que $z$ é **racionalmente periódico ou parabólico** ou **irracionalmente periódico** ou **diofantino** se $\theta$ é racional ou $\theta \in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}$, ou é mal aproximado por racionais, respectivamente. Neste último caso, mais precisamente, um número $\theta$  é diofantino se é um número irracional que satisfaz a condição $|\theta-p/q|\geq C/q^{\nu}$, para constantes $C>0$ e $\nu \geq 2$ e todo número racional $p/q\in\mathbb{Q}$, $\nu$ é chamado de **expoente** de $\theta$. Dizemos que um ponto $z$ é **linearizável** se existe um difeomorfismo $\varphi$ de uma vizinhança $V$ de $z$ em um disco tal que $\varphi\circ f^{(k)}\circ \varphi^{-1}$ é da forma $z\mapsto \rho z$. O maior domínio $V$ de linearização é chamado de **disco de Siegel**. Um resultado fundamental (e difícil) nesta ordem de ideias é o seguinte:
-**Teorema (Siegel-1942)**: Todo ponto periódico diofantino é linearizável.
-Um ponto que é irracionalmente periódico que não é linerizável é dito **Ponto de Cremer**. Em todos os casos exceto o de pontos fixos parabólicos, ou mais geralmente ciclos parabólicos, é razoavelmente fácil exibir coordenadas locais em uma vizinhança pequena de um ponto fixo que está particularmente adaptada a $f$. Vamos discutir tais fatos agora.
 ====== Pontos fixos atratores e repulsores ======
+Se $z$ é um ponto periódico de período $k$, definimos a **bacia de atração** de $z$ como sendo o conjunto dos pontos $w$ tais que $f^{nk}(w)\rightarrow z$, quando $n\rightarrow \infty$. Chamamos de **bacia imediata de atração** a componente conexa da bacia de atração que contém o ponto periódico.
 No que se segue vamos, sem perda, supor que o ponto fixo é sempre a origem.
-**Teorema(Koenigs,1888):** Seja $U$ uma vizinhança de $0$ e seja $f:U\rightarrow\mathbb{C}$ um mapa holomorfo tal que $f(0)=0$ e que $0 < |f'(0)|< 1$. Então, existe uma vizinhança $V\subset U$ de $0$ com $F(V)\subset V$ e um biholomorfismo $\varphi: V\rightarrow \mathbb{C}$ com $\varphi'(0)=1$ tal que $\varphi(f(z)) =\lambda\varphi(z)$, onde $\lambda = f'(0)$, para $z\in V$. O germe de $\varphi$ em $0$ é único.
+**Teorema (Koenigs, 1888):** Seja $U$ uma vizinhança de $0$ e seja $f:U\rightarrow\mathbb{C}$ um mapa holomorfo tal que $f(0)=0$ e que $0 < |f'(0)|< 1$. Então, existe uma vizinhança $V\subset U$ de $0$ com $f(V)\subset V$ e um biholomorfismo $\varphi: V\rightarrow \varphi(V)$ com $\varphi'(0)=1$ tal que $\varphi(f(z)) =\rho\varphi(z)$, onde $\rho = f'(0)$, para $z\in V$. Além disso, o germe de $\varphi$ em $0$ é único.
 **Demonstração:**
-Ponha $g(z) := f(z) -\lambda z$ e observe que existem $r_{1}>0$ e um disco $D_{r_{1}}(0)\subset U$ e uma constante $C_{1}>0 $ tal que $|g(z)|\leq C|z|^2$, sempre que $|z|\leq r_{1}$. De fato, escrevendo a série de Taylor $f$ ao redor da origem temos que $f(z)= \lambda z + z^{2} + O(z^{n-1})$ de modo que escolhendo $r_{1}$ convenientemente temos que para todo $|z|\leq r_{1}$, $|g(z)|= |z^{2}+O(z^{n-1}) \leq |z^{2}(1+O(z^{n-1})/z^{2})|\leq C_{1}|z|^{2}$. Escolhendo agora uma constante $C_{2}$ tal que $C_{2}^{2} < |\lambda|< C_{2} < 1$ e pondo $r:= min\{r_{1}, (C_{2}-|\lambda|)/C_{1}\}$, teremos que para todo $|z|< r$, vamos ter $|f(z)|\leq |\lambda z| + C_{1}|z|^{2}\leq (|\lambda|+C_{1}r) \leq C_{2}|z|$, de modo que ao iterarmos obtemos que $|f^{\circ n}(z)|\leq C_{2}^{n}$. Ponha agora $V:=\{z\in\mathbb{C} ; |z| < r\}$ e considere a sequência de mapas analíticos $\varphi_{n}: V \rightarrow \mathbb{C}$ dados por $\varphi_{n}(z) = \frac{f^{\circ n}(z)}{\lambda_{n}}$.
+Ponha $g(z) := f(z) -\lambda z$ e observe que existem $r_{1}>0$, um disco $D_{r_{1}}(0)\subset U$ e uma constante $C_{1}>0 $ tais que $|g(z)|\leq C_1|z|^2$, sempre que $|z|\leq r_{1}$. De fato, escrevendo a série de Taylor de $f$ ao redor da origem, temos que $f(z)= \lambda z + O(z^{2})$ de modo que $g(z) = O(z^2)$. Escolhendo agora uma constante $C_{2}$ tal que $C_{2}^{2} < |\lambda|< C_{2} < 1$ e pondo
-Afirmamos que tal sequência converge uniformemente em $V$. Com efeito, $$|\varphi_{n+1} - \varphi_{n}| = \Big| \frac{f^{\circ n+1}(z)}{\lambda^{n+1}} - \frac{f^{\circ n}(z)}{\lambda^{n}}\Big| = \frac{1}{|\lambda|^{n}}\Big|\frac{f(f^{\circ n}(z))}{\lambda} - f^{\circ n}(z) \Big|$$
+\[ r:= \min\left\{ 1, r_{1}, \frac{C_{2}-|\lambda|}{C_{1}} \right\}, \]
-$$= \frac{1}{|\lambda|^{n}}\Big|\frac{f(f^{\circ n}(z)) - \lambda f^{\circ n}(z)}{\lambda}\Big| = \frac{1}{|\lambda|^{n+1}}|g(f^{\circ n}(z))|\leq \frac{C_{1}|f^{\circ n}(z)|}{{|\lambda|^{n+1}}} \leq \frac{C_{1}}{|\lambda|}\Big(\frac{C_{2}^{2}|z|}{|\lambda|}\Big)^{n}$$
+teremos que para todo $|z|< r$, vale $|f(z)|\leq |\lambda z| + C_{1}|z|^{2}\leq (|\lambda|+C_{1}r)|z| \leq C_{2}|z|$. Ao iterarmos, obtemos que $|f^{n}(z)|\leq C_{2}^{n}$. Ponha agora $V:=\{z\in\mathbb{C} ; |z| < r\}$ e considere a sequência de mapas analíticos $\varphi_{n}: V \rightarrow \mathbb{C}$ dados por $\varphi_{n}(z) = f^{n}(z)/\lambda^{n}$.
-Uma vez temos $\frac{C_{2}^{2}|z|}{|\lambda|} < 1$, isto nos mostra que a sequencia de mapas acima é de Cauchy, e portanto converge uniformemente em $V$. Defina agora $\varphi(z) := \lim_{n\rightarrow \infty}\varphi_{n}(z)$. Observe que $\varphi'(0) = 1$, uma vez que $\varphi(z) = z + O(|z|)$. Assim, o mapa $\varphi$ resolve a nossa equação funcional do enunciado, pois $$\varphi(f(z)) = \lim_{n\rightarrow \infty}\varphi_{n}(f(z)) = \lim_{n\rightarrow \infty}\frac{f^{\circ n}(f(z))}{\lambda^{n}} = \lambda\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{f^{\circ n+1}(z)}{\lambda^{n+1}} = \lambda \varphi(z)$$
+Afirmamos que tal sequência converge uniformemente em $V$. Com efeito,
-Ou seja, $\varphi(f(z)) = \lambda \varphi(z)$, como queríamos. Resta mostrarmos a unicidade do mapa $\varphi$. Com efeito, seja $\psi: W\rightarrow\mathbb{C}$ um mapa biholomorfo que conjuga a nossa aplicação $f$. Se denotarmos por $M_{\lambda}$ a multiplicação por $\lambda$, tem-se então que $$M_{\lambda}\circ \psi \circ \varphi^{-1}(z) = \psi \circ f \circ \varphi^{-1}(z) = \psi \circ \varphi^{-1} \circ M_{\lambda}(z)$$ Como estamos trabalhando com germes analíticos, as funções envolvidas possuem inversas funcionais, isto implica que a composição $\psi \circ \varphi^{-1}$ comuta com a multiplicação por $\lambda$, impondo que $\psi'(0)=1$, segue-se que $\varphi =\psi$.
+\[ \begin{array}{rl}
+|\varphi_{n+1} - \varphi_{n}| & = \Big| \frac{f^{n+1}(z)}{\lambda^{n+1}} - \frac{f^{n}(z)}{\lambda^{n}}\Big| = \frac{1}{|\lambda|^{n}}\Big|\frac{f(f^{n}(z))}{\lambda} - f^{n}(z) \Big| \\
+ & = \frac{1}{|\lambda|^{n}}\Big|\frac{f(f^{n}(z)) - \lambda f^{n}(z)}{\lambda}\Big| = \frac{1}{|\lambda|^{n+1}}|g(f^{n}(z))| \\
+ & \leq \frac{C_{1}|f^{n}(z)|}{{|\lambda|^{n+1}}} \leq \frac{C_{1}}{|\lambda|}\Big(\frac{C_{2}^{2}|z|}{|\lambda|}\Big)^{n}
+\end{array} \]
+Uma vez que temos $\frac{C_{2}^{2}|z|}{|\lambda|} < r < 1$, isto nos mostra que a sequencia de mapas acima é uniformemente de Cauchy, e portanto converge uniformemente em $V$. Defina agora $\varphi(z) := \lim_{n\rightarrow \infty}\varphi_{n}(z)$. Observe que $\varphi'(0) = 1$, uma vez que $\varphi(z) = z + O(z)$. Assim, o mapa $\varphi$ resolve a nossa equação funcional do enunciado, pois
+$$\varphi(f(z)) = \lim_{n\rightarrow \infty}\varphi_{n}(f(z)) = \lim_{n\rightarrow \infty}\frac{f^{n}(f(z))}{\lambda^{n}} = \lambda\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{f^{n+1}(z)}{\lambda^{n+1}} = \lambda \varphi(z)$$
+Ou seja, $\varphi(f(z)) = \lambda \varphi(z)$, como queríamos. Resta mostrarmos a unicidade do mapa $\varphi$. Com efeito, seja $\psi: W\rightarrow \psi(W)$ um mapa biholomorfo que conjuga a nossa aplicação $f$. Se denotarmos por $M_{\lambda}$ a multiplicação por $\lambda$, tem-se então que
+$$M_{\lambda}\circ \psi \circ \varphi^{-1}(z) = \psi \circ f \circ \varphi^{-1}(z) = \psi \circ \varphi^{-1} \circ M_{\lambda}(z)$$
+Como estamos trabalhando com germes analíticos, as funções envolvidas possuem inversas funcionais; isto implica que a composição $\psi \circ \varphi^{-1}$ comuta com a multiplicação por $\lambda$, impondo que $\psi'(0)=1$. Segue que $\varphi =\psi$.
 **Obs:** O caso repulsor segue imediatamente aplicando o mesmo argumento ao mapa $f^{-1}$, o qual esta bem definido em uma vizinhança da origem, cujo multiplicador satisfaz $0<|\rho^{-1}|<1$.
-Dado o teorema acima, Podemos (e queremos) determinar os domínios para o mapa $\varphi$ acima, isto é, podemos obter o maior aberto e conexo em que haja a conjugação.
+Dado o teorema acima, podemos (e queremos) determinar os domínios para o mapa $\varphi$ acima, isto é, podemos obter o maior aberto conexo em que haja a conjugação.
-**Teorema:** Seja $z_{0}$ um ponto fixo atrator para um polinômio $f:\mathbb{C}\rightarrow\mathbb{C}$ e seja $U$ a sua bacia de atração. Então, a sequencia $\{\varphi_{n}\}_{n\in\mathbb{N}}$ dada por $\varphi_{n}(z) := \frac{f^{\circ n}(z) - z_{0}}{f'(z_{0})^{n}}$ converge uniformemente em compactos de $U$ e o seu limite é um mapa $\varphi:U\rightarrow\mathbb{C}$ que satisfaz $\varphi(f(z)) = f'(z_{0})\varphi(z)$.
+**Teorema:** Seja $z_{0}$ um ponto fixo atrator para um polinômio $f:\mathbb{C}\rightarrow\mathbb{C}$ e seja $U$ a sua bacia de atração. Então, a sequencia $\{\varphi_{n}\}_{n\in\mathbb{N}}$ dada por
+\[ \varphi_{n}(z) := \frac{f^{n}(z) - z_{0}}{f'(z_{0})^{n}}\]
+converge uniformemente em compactos de $U$ e o seu limite é um mapa $\varphi:U\rightarrow\mathbb{C}$ que satisfaz $\varphi(f(z)) = f'(z_{0})\varphi(z)$.
 **Demonstração:**
-Já sabemos que a sequencia $\{\varphi_{n}\}_{n\in \mathbb{N}}$ é uma sequencia que converge uniformemente em uma vizinhança $V$ de $z_{0}$, uma vez que a sequencia é a mesma da prova anterior, trocando apenas o ponto fixo. Seja $K\subset U$ um subconjunto compacto. Então existe um inteiro $m$ tal que $f^{\circ m}(K)\subset V$, e portanto em para todo $z\in K$ vem que $$\lim_{n\to\infty}\frac{f^{\circ n}(z) - z_{0}}{f'(z_{0})^{n}} = \lim_{n\to\infty}\frac{f^{\circ n}(f^{\circ m}(z)) - z_{0}}{f'(z_{0})^{n+m}} = \frac{1}{f'(z_{0})^{m}}\lim_{n\to\infty}\frac{f^{\circ n}(f^{\circ m}(z)) - z_{0}}{f'(z_{0})^{n}} = \frac{1}{f'(z_{0})^{m}}\varphi(f^{\circ m}(z))$$
+Já sabemos que a sequencia $\{\varphi_{n}\}_{n\in \mathbb{N}}$ é uma sequencia que converge uniformemente em uma vizinhança $V$ de $z_{0}$, uma vez que a sequencia é a mesma da prova anterior, trocando apenas o ponto fixo. Seja $K\subset U$ um subconjunto compacto. Então existe um inteiro $m$ tal que $f^{m}(K)\subset V$, e portanto para todo $z\in K$ tem-se que
-Logo, a convergencia é uniforme em compactos e a equação funcional é satisfeita claramente.
+$$\lim_{n\to\infty}\frac{f^{n}(z) - z_{0}}{f'(z_{0})^{n}} = \lim_{n\to\infty}\frac{f^{n}(f^{m}(z)) - z_{0}}{f'(z_{0})^{n+m}} = \frac{1}{f'(z_{0})^{m}}\lim_{n\to\infty}\frac{f^{n}(f^{m}(z)) - z_{0}}{f'(z_{0})^{n}} = \frac{1}{f'(z_{0})^{m}}\varphi(f^{m}(z))$$
+Logo, a convergencia é uniforme em compactos. A equação funcional segue trivialmente.
-Assim, provamos que a conjugação no caso atrator se extende a toda bácia de atração. No caso repulsor, o teorema de linearização global é um pouco diferente, tendo em vista que não existe um conceito como "bácia repulsora".
+Assim, provamos que a conjugação no caso atrator se estende a toda bácia de atração. No caso repulsor, o teorema de linearização global é um pouco diferente, tendo em vista que não existe um conceito como "bacia repulsora".
 Uma filosofia que se observa desde o inicio da teoria, nos trabalhos de Fatou por exemplo, é que os pontos críticos determinam de maneira importante o comportamento dinâmico dos polinômios. O próximo resultado também nos mostra como críticos se comportam perto de pontos atratores.
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 A bacia imediata de qualquer ciclo atrator contém pelo menos um ponto crítico.
-**Demonstração**
+A ideia é que, se não tivéssemos ponto crítico na bacia imediata de atração, poderíamos estender a inversa do mapa $\varphi$ do teorema anterior a todo o plano, o que culminaria em uma conjugção entre um mapa de grau $d$ e um mapa de grau $1$, concluindo um absurdo.
-Seja $z_{0}$ um ponto fixo atrator e $U_{0}$ a sua bácia imediata. Como $f$ é um polinômio, então $f:f^{-1}(U_{0})\rightarrow U_{0}$ é um mapa próprio e que portanto $f:U_{0}\rightarrow U_{0}$ também o é. Se $U_{0}$ não contém um ponto crítico de $f$, então $f$ seria um difeomorfismo local e portanto um mapa de recobrimento, ou seja, uma isometria da métrica hiperbólica de $U_{0}$, logo $||f'(z_{0})|| = 1$, contradizendo o fato de $z_{0}$ é atrator. Assim, seja $\{z_{0},z_{1},...,z_{n-1}\}$ um ciclo atrator e considere a sua bacia de atração $U$. Como $U= \cup_{i} U_{z_{i}}$, onde cada $U_{z_{i}}$ é a bacia imediata de um ponto do ciclo, então existe pelo menos um crítico de $f^{\circ n}$ em alguma bacia imediata. Pela regra da cadeia, o resultado segue.
 ====== Pontos fixos super-atratores ======
-Nesta seção, iremos observar que a dinâmica de um polinômio em torno de um ponto super-atrator é, embora mais complicada que no caso atrator, ainda é razoavelmente simples.
+Nesta seção, iremos observar que a dinâmica de um polinômio em torno de um ponto super-atrator é, embora mais complicada que no caso atrator, ainda razoavelmente simples.
-**Teorema(Böttcher -1904)**
+**Teorema (Böttcher, 1904):** Seja $f(z) = z^{k}(1+g(z))$ um mapa analítico definido em uma vizinhança $U\subset\mathbb{C}$ da origem, com $k\geq 2$ e $g(z) = O(z)$. Então, existe uma vizinhança $V\subset U$ da origem e um mapa analítico $\varphi : V\rightarrow \mathbb{C}$ tal que $(\varphi(z))^{k}=\varphi(f(z))$.
-Seja $f(z) = z^{k}(1+g(z))$ um mapa analítico definido em uma vizinhança $U\subset\mathbb{C}$ da origem, com $k\geq 2$ e $g$ um mapa analítico não nulo em $U$. Então, existe uma vizinhança $V\subset U$ da origem e um mapa analítico $\varphi : V\rightarrow \mathbb{C}$ tal que $(\varphi(z))^{k}=\varphi(f(z))$.
-O mapa $\varphi$ acima é chamado de mapa de Böttcher (ou Coordenada de Böttcher) Uma observação é que o mapa de Böttcher é único a menos de multiplicação por uma raíz $k-1$-ésima da unidade.
+O mapa $\varphi$ acima é chamado de mapa de Böttcher (ou Coordenada de Böttcher). Uma observação é que o mapa de Böttcher é único a menos de multiplicação por uma raíz $(k-1)$-ésima da unidade.
-**Demonstração:**
+**Demonstração:** A filosofia novamente é construir uma sequencia de mapas que satisfazem a equação funcional de conjugação acima. Neste caso, somos tentados a definir a sequência $\varphi_{n}(z) := (f^{n}(z))^{1/k^{n}}$ para tomar seu limite. Porém, neste caso, não temos somente um problema de convergencia, mas também um problema de especificação da raíz $k-$ésima que estamos utilizando. Observe que podemos tornar a sequencia em um produto telescópico
-A filosofia novamente é construir uma sequencia de mapas que satisfazem a equação funcional de conjugação acima. Neste caso, somos tentados a definir a seguinte sequencia $\varphi_{n}(z) := (f^{\circ n}(z))^{1/k^{n}}$ e provemos que a mesma converge uniformemente à um limite holomorfo $\varphi$. Porém, neste caso, não temos somente um problema de convergencia, mas também um problema de especificação raíz $k-$ésima que estamos utilizando. Observe que podemos tornar a sequencia em um produto telescópico:
+$$(f^{n}(z))^{1/k^{n}} = z\frac{f(z)^{1/k}}{z}\frac{f^{2}(z)^{1/k^{2}}}{f(z)^{1/k}}....\frac{f^{n}(z)^{1/k^{n}}}{f^{n-1}(z)^{1/k^{n-1}}}$$
-$$f^{\circ n}(z))^{1/k^{n}} = z\frac{f(z)^{1/k}}{z}\frac{f^{\circ 2}(z)^{1/k^{2}}}{f(z)^{1/k}}....\frac{f^{\circ n}(z)^{1/k^{n}}}{f^{\circ n-1}(z)^{1/k^{n-1}}}$$
+de modo que o termo geral do produto é da forma
-De modo que o termo geral do produto é da forma $\frac{f^{\circ n}(z)^{1/k^{n}}}{f^{\circ n-1}(z)^{1/k^{n-1}}} = \frac{\Big((f^{\circ n-1}(z)^{k})(1+g(f^{\circ n-1}(z))\Big)^{1/k^{n}}}{f^{\circ n-1}(z)^{1/k^{n-1}}} = \frac{f^{\circ n}(z)^{1/k^{n}}}{f^{\circ n-1}(z)^{1/k^{n-1}}} = (1+g(f^{\circ n-1}(z))^{1/k^{n}}$, deste modo, se conseguirmos provar que existe um $\rho > 0$ tal que quando $|z|\leq \rho$ obtivermos $|g(f^{\circ n-1}(z))| < 1$, podemos utilizar o ramo analítico principal da raiz em todos os termos do produto $\varphi_{n}(z) = \prod_{i=1}^{n}(1+g(f^{\circ i-1}(z))^{1/k^{i}}$ e livrarmos da indeterminação raíz. Com efeito, escolha primeiro $\rho_{1}>0$ e uma constante $C$ tal que $|g(z)| < C|z|$, para todo $z\in D_{\rho_{1}}(0)$. Seja agora $\rho_{2}$ a raíz positiva da equação $x^{k-1}(1+Cx) = 1$, e ponha $\rho := min\{\rho_{1}, \rho_{2}, 1/2C\}$ de modo que se $|z| < \rho$, temos que $$|f(z)| = |z|^{k}|1+g(z)|\leq |z|^{k}(1+|g(z)| )\leq |z||z|^{k-1}(1+C\rho)\leq |z|$$
+$$\frac{f^{n}(z)^{1/k^{n}}}{f^{n-1}(z)^{1/k^{n-1}}} = \frac{\Big((f^{n-1}(z)^{k})(1+g(f^{n-1}(z))\Big)^{1/k^{n}}}{f^{n-1}(z)^{1/k^{n-1}}} = (1+g(f^{n-1}(z)))^{1/k^{n}}$$
-Assim, temos que para todo $n$ $|f^{\circ n}(z)| \leq \rho$ e portanto $|g(f^{\circ n-1}(z))|\leq C|f^{\circ n-1}(z)|\leq C\rho\leq 1/2$. Logo, para todo $z\in D_{\rho}(0)$ o ramo principal analítico de $1+g(f^{\circ n-1}(z))^{1/k^{n}}$ está bem definido para todos os valores de $n$. Observe que como o valor máximo de $|ln(1+w)|$ sempre que $|w|\leq 1/2$ é $ln2$, então vale que $$\Big|ln|1+g(f^{\circ n-1}(z))^{1/k^{n}}|\Big| = \frac{1}{k^{n}}|ln|1+g(f^{\circ n-1}(z))|\leq \frac{ln2}{k^{n}}$$
+Deste modo, se conseguirmos provar que existe um $\rho > 0$ tal que quando $|z|\leq \rho$ obtemos $|g(f^{n-1}(z))| < 1$, podemos utilizar o ramo analítico principal da raiz em todos os termos do produto $\varphi_{n}(z) = \prod_{i=1}^{n}(1+g(f^{i-1}(z))^{1/k^{i}}$. Com efeito, escolha primeiro $\rho_{1}>0$ e uma constante $C$ tal que $|g(z)| < C|z|$, para todo $z\in D_{\rho_{1}}(0)$. Seja agora $\rho_{2}$ a raíz positiva da equação $x^{k-1}(1+Cx) = 1$, e ponha $\rho := min\{\rho_{1}, \rho_{2}, 1/2C\}$ de modo que se $|z| < \rho$, temos que $$|f(z)| = |z|^{k}|1+g(z)|\leq |z|^{k}(1+|g(z)| )\leq |z||z|^{k-1}(1+C\rho)\leq |z|$$
-e portanto o termo geral do produto converge, logo a sequencia converge uniformemente, como queríamos.
+Assim, temos que para todo $n$, $|f^{n}(z)| \leq \rho$ e portanto $|g(f^{n-1}(z))|\leq C|f^{n-1}(z)|\leq C\rho\leq 1/2$. Logo, para todo $z\in D_{\rho}(0)$ o ramo principal analítico de $1+g(f^{n-1}(z))^{1/k^{n}}$ está bem definido para todos os valores de $n$. Observe que como o valor máximo de $|\log(1+w)|$ sempre que $|w|\leq 1/2$ é $\log 2$, então vale que
+$$\Big|\log|1+g(f^{n-1}(z))|^{1/k^{n}}\Big| = \frac{1}{k^{n}}|\log|1+g(f^{n-1}(z))|| \leq \frac{\log 2}{k^{n}}$$
+e portanto o produtório $\varphi(z) := \prod_{n\geq 1}(1 + g(f^{n-1}(z)))^{1/k^n}$ converge e é o limite da sequencia $\varphi_n$, como queríamos.
-Vamos agora tentar entender o domínio total do mapa de Boetcher para uma bacia super-atratora, porém isto só faz sentido se $f$ não for um germe analítico. Diferente do caso linearizável, o mapa de Boetcher não se extende a toda bacia de atração de um ponto fixo super-atrator. Por outro lado, se assumirmos que o valor $-\infty$ possa ser tomado, podemos definir algo semelhante, as chamadas **funções de Green**.
+Vamos agora tentar entender o domínio total do mapa de Böttcher para uma bacia super-atratora. Diferente do caso linearizável, o mapa de Böttcher não se estende a toda bacia de atração de um ponto fixo super-atrator, mas seu potencial associado, a chamada **função de Green**, sim.
-**Teorema(Funções de Green dinâmicamente definida):** Seja $f:\mathbb{C}\rightarrow\mathbb{C}$ um polinômio e suponha que $f(0)=0$ e $f(z)=z^{k}(1+g(z))$, onde $k\geq 2$, onde $g\in \mathcal{O}(z)$ perto da origem. Seja $W$ a bacia de atração de $0$. Então, a sequencia de funções $n\mapsto G_{n}:W\rightarrow [-\infty,\infty)$ definida por $G_{n}(z) = \frac{1}{k^{n}}\ln|f^{\circ n}(z)|$ converge uniformemente em subconjuntos compactos de $W$, com pólos logaritmicos em um subconjunto $Z\subset W$ de pontos $z$ tais que $f^{\circ n}(z) = 0$, para algum $n$. Mais ainda, o limite $G:= \lim_{n\to \infty}G_{n}$ satisfaz a equação funcional $G(f(z)) = kG(z)$.
+**Teorema(Funções de Green dinâmicamente definida):** Seja $f:\mathbb{C}\rightarrow\mathbb{C}$ um polinômio e suponha que $f(0)=0$ e $f(z)=z^{k}(1+g(z))$, onde $k\geq 2$ e $g = \mathcal{O}(z)$ perto da origem. Seja $W$ a bacia de atração de $0$. Então a função $G(z) := \log|\varphi(z)|$, definida em vizinhança de $0$, se estende à toda bacia $W$, com pólos logarítmicos no subconjunto $Z\subset W$ de pontos $z$ tais que $f^{n}(z) = 0$, para algum $n$. Mais ainda, $G$ satisfaz à equação funcional $G(f(z)) = kG(z)$.
 **Demonstração:**
-Seja $V$ uma vizinhança tomada como no teorema de Bottcher acima, e considere as funções $\varphi_{n}$ dada por $\varphi_{n}(z) = (f^{\circ n}(z))^{1/k^{n}}$. Desta forma, no domínio de $\varphi_{n}$, temos que $G_{n}(z) = \frac{1}{k^{n}}\ln{|f^{\circ n}(z)|} = \ln{|\varphi_{n}(z)|}$. Assim, em qualquer compacto $K\subset W$ tal que $f^{\circ n}(K)\subset V$, temos então que $G_{n}(z) = \frac{1}{k^{m}}\ln{|\varphi_{n}(f^{\circ m}(z))|}$. Tomando o limite quando $n$ tende ao infinito, segue-se que a sequencia $n\mapsto G_{n}$ converge uniformemente em $K$. Observe que a equação funcional segue uma vez que $\varphi(f(z)) = \varphi(z)^{k}$, bastando tomar logarítmos em ambos os lados.
+Note que $G$ está definida em uma vizinhança $V$ de $0$ e que, dado $z \in V$, vale $G(f(z)) = \log|\varphi(f(z))| = \log|\varphi(z)^k| =$ $kG(z)$. Dado agora $z \in W$, existe $n \geq 1$ tal que $f^n(z) \in V$ e portanto está bem definida $G(f^n(z)) = \log|\varphi(f^k(z))|$. Desta forma, podemos estender $G$ colocando $G(z) := G(f^n(z))/n$, e o fato de $G$ obedecer à equação funcional em $V$ nos garante que essa extensão está bem definida. Observe que a equação funcional segue diretamente dessa definição. Derivando a relação $G(f(z)) = kG(z)$, concluímos a afirmação sobre os pólos de $G$.
-Considere agora , para todo $\rho\in (0,1]$ a componente conexa $W_{\rho}\subset W$ do conjunto $\{z\in W ; G(z) < \ln{\rho}\}$ que contém $0$ e seja $\rho_{0}$ o supremo dos números $\rho$ tais que a componente $W_{\rho_{0}}$ contém apenas o crítico $0$.
+Note que a equação funcional implica que $G(z) < 0$ para todo $z \in W$: pois $f^n(z)\xrightarrow{} 0$ e portanto $G(f^n(z)) = k^nG(z)\xrightarrow{} -\infty$. Considere então, para todo $\rho \in (-\infty, 0)$, a componente conexa $W_{\rho}\subset W$ do conjunto $\{z\in W ; G(z) < \log{\rho}\}$ que contém $0$ e seja $\rho_{0}$ o supremo dos números $\rho$ tais que $W_{\rho}$ não contém ponto crítico diferente de $0$.
 **Proposição:**
-A coordenada de bottcher $\varphi$ se extende a um isomorfismo analítico $\overline{\varphi}:W_{\rho_{0}}\rightarrow D_{e^{\rho_{0}}}$, onde $D_{e^{\rho_{0}}}$ é o disco de raio $e^{\rho_{0}}$. Se $W$ não contém pontos críticos a não ser a origem, então $\varphi$ é um biholomorfismo da bacia imediata de $0$ ao disco unitário $\mathbb{D}$.
+A coordenada de bottcher $\varphi$ se estende a um isomorfismo analítico $\overline{\varphi}: W_{\rho_{0}}\rightarrow D_{e^{\rho_{0}}}$, onde $D_{e^{\rho_{0}}}$ é o disco de raio $e^{\rho_{0}}$ centrado na origem. Se $W$ não contém pontos críticos a não ser a origem (i.e. $rho_0 = 0$), então $\varphi$ é um biholomorfismo da bacia de atração imediata de $0$ ao disco unitário $\mathbb{D}$.
 **Demonstração:**
-De fato, existe um $n$ suficientemente grande tal que $W_{\rho_{0}^{n}}$ esta contido no domínio de definição do mapa de Bottcher $\varphi$. Assim, extendendo sucessivamente $W_{\rho_{0}^{n-1}}\subset W_{\rho_{0}^{n-2}}\subset ... \subset W_{\rho_{0}}$, é suficiente provarmos o resultado para a primeira extensão. Observe que a restrição $f:W_{\rho_{0}^{n-1}}\rightarrow W_{\rho_{0}^{n}}$ é um mapa de recobrimento com $k$ folhas na origem, uma vez que $W_{\rho_{0}^{n-1}}\cap \mathcal{C}_{f} = \emptyset$, e como $z\mapsto z^{k}$, como um mapa dos discos $D_{\rho_{0}^{n-1}}\rightarrow D_{\rho_{0}^{n}}$ é também um recobrimento ramificado somente na origem. Assim, existem $k$ mapas diferentes $g_{i}$ que semi-conjuga $f$ e $z^{k}$ com $\varphi$, e tais mapas diferem por pós-composição com a $k-$ésima raíz da unidade. Um desses $g_{i}$ coincidem com $\varphi$ em $W_{\rho_{0}^{n}}\subset W_{\rho_{0}^{n-1}}$, nos garantindo a extensão desejada.
+De fato, existe um $n$ suficientemente grande tal que $W_{\rho_{0}^{n}}$ esta contido no domínio de definição do mapa de Bottcher $\varphi$. Assim, queremos estender $\varphi$ sucessivamente aos conjuntos encaixados $W_{\rho_0^n} \subset W_{\rho_{0}^{n-1}}\subset W_{\rho_{0}^{n-2}}\subset ... \subset W_{\rho_{0}}$, e é suficiente provarmos o resultado para a primeira extensão (as outras são análogas). Observe que a restrição $f:W_{\rho_{0}^{n-1}}\rightarrow W_{\rho_{0}^{n}}$ é um mapa de recobrimento com $k$ folhas ramificado na origem, uma vez que $W_{\rho_{0}^{n-1}}\cap \mathcal{C}_{f} = \{0\}$. Como $z\mapsto z^{k}$, como um mapa dos discos $D_{\rho_{0}^{n-1}}\rightarrow D_{\rho_{0}^{n}}$, é também um recobrimento com $k$ folhas ramificado na origem, existem $k$ mapas distintos $g_{i}, i = 1, \dots, k$, que semi-conjugam $f$ com $z \mapsto z^{k}$, e tais mapas diferem apenas por pós-composição com $k-$ésima raíz da unidade. Um desses $g_{i}$ deve então coincidir com $\varphi$ em $W_{\rho_{0}^{n}}\subset W_{\rho_{0}^{n-1}}$, nos garantindo a extensão desejada.
 ====== Pontos fixos parabólicos ======
-Suponha agora que a origem é um ponto fixo para $f$ de período $k$ e cujo multiplicador é da forma $\rho = e^{2i\pi\frac{p}{q}}$, onde $p$ e $q$ são primos relativos. Assim, $f^{kq}$ é tangente a identidade em $0$, isto é $(f^{kq})'(0) = 1 $. Podemos então encontrar $Q$ semi-retas partindo da origem chamados de **eixos atratores**, e alternativamente também podemos encontrar $Q$ semi-retas chamadas de **eixos repulsores**, onde $Q$ é um múltiplo de $q$ com a seguinte propriedade fundamental:Se $z\rightarrow 0$ ao longo de um eixo atrator(repulsor), então $f^{kq}(z)\rightarrow 0$ ($f^{kq}(z)$ tende para longe de $0$). Estes eixos são determinados da seguinte maneira:
+Se $f$ tem ponto fixo em $z$ e seu multiplicador $\rho$ é da forma $e^{2i\pi\theta}$ com $\theta = p/q \in \mathbb{Q}$, dizemos que $z$ é ponto fixo **racionalmente indiferente** ou **parabólico**. Sem perda de generalidade, trabalharemos com o caso $z = 0$. Então podemos escrever $f(z) = \rho z(1 + bz^r + O(z^{r+1}))$; o número $r$ é chamado de **multiplicidade parabólica** do ponto fixo. Infelizmente, diferente dos casos atrator, super-atrator e repulsor, não temos uma forma canônica simples para $f$ (o melhor que podemos fazer no geral é conjugar $f$ com um mapa $z \mapsto \rho z(1 + bz^r + cz^{2r-1} + O(z^n))$ com $n$ arbitrariamente grande). Ainda assim, podemos entender a dinâmica de $f$ em torno de $0$. Para tanto, defina os **eixos atratores** de $f$ em $0$ como as direções $v$ (pensadas no espaço tangente) para as quais $bv^r \in (-\infty, 0)$, e os **eixos repulsores** como as direções para as quais $bv^r \in (0, \infty)$. Note que (ao considerarmos vetores normais) temos $r$ direções atratoras e $r$ direções repulsoras e todas elas juntas formam um conjunto de $2r$ pontos de $\mathbb{S}^1$ igualmente espaçados; sejam então $v_1, v_2, \dots, v_{2r}$ essas direções em ordem cíclica, onde os índices ímpares são atratores e os índices pares, repulsores (a única escolha que temos a fazer aqui é da direção $v_1$). Vamos primeiro entender o caso em que $\rho = 1$ (ou seja, o denominador $q$ é igual a $1$):
-Escrevendo $f^{kq}$ em série , temos que $f^{kq}(z) = z(1+cz^{Q}+\mathcal{O}(z^{Q+1})$, para algum $c\neq 0$, e $Q\geq 1$. Assim, os valores para os quais a expressão $cz^{Q}$ é um número real negativo (resp. positivo) formam o eixo atrator (resp. eixo repulsor).
-A derivada $z\mapsto \rho.z$ age nos eixos dinâmicos, levando eixos repulsores em eixos repulsores, e eixos atratores em eixos atratores. Seja $L$ um eixo atrator. Então, existem pontos $z$ tais que $f^{kqn}(z)\rightarrow 0$ tangencialmente a $L$, e este conjunto de pontos, digamos $A_{L}$, formam um subconjunto aberto que contém um segmento $L$ com uma extremidade em $0$. $A_{L}$ é a bácia de atração de $L$, e bácia imediata de $L$ a componente conexa que contém a origem.
+**Teorema (Flor de Leau-Fatou):** Seja $f(z) = z(1 + bz^r + O(z^{r+1}))$ em vizinhança de $0$ e $v_1, \dots, v_{
+r}$ as direções atratoras e repulsoras de $f$ em $0$. Então existem abertos $\mathcal{P}_1, \dots, \mathcal{P}_{2r}$ e mapas conformes $\varphi_i: \mathcal{P}_i \to \mathbb{H}_i$, onde $\mathbb{H}_i = \{z \in \mathbb{C} \ | \ Re(z) > 0\}$ se $i$ é ímpar e $\mathbb{H}_i = \{z \in \mathbb{C} \ | \ Re(z) < 0\}$ se $i$ é par, tais que:
+  - $0 \in \partial \mathcal{P}_i$ e $\cup_{i=1}^{2r}\mathcal{P}_i\cup \{0\}$ é uma vizinhança de $0$;
+  - $\mathcal{P}_i\cap \mathcal{P}_j \neq \emptyset$ se e só se $i - j = \pm 1 \mod(2r)$;
+  - $f(\mathcal{P}_i) \subset \mathcal{P}_i$ se $i$ é ímpar e $\mathcal{P}_i \subset f(\mathcal{P}_i)$ se $i$ é par;
+  - $\varphi_i$ conjuga a ação de $f$ em $\mathcal{P}_i$ com a de $z \mapsto z + 1$ em $\mathbb{H}_i$;
+  - $f^n(z) \xrightarrow{} 0$ pela direção $v_i$ se $z \in \mathcal{P}_i$ e $i$ é ímpar;
+  - $f^{-n}(z) \xrightarrow{} 0$ pela direção $v_i$ se $z \in \mathcal{P}_i$ e $i$ é par;
+  - os mapas $\varphi_i$ são únicos a menos de composição com translação.
+A demonstração segue uma ideia similar aos teoremas de Koenigs e Böttcher (encontrar sequência de semi-conjugações que converge para uma conjugação verdadeira), mas isso é aplicado apenas após uma mudança de coordenadas do tipo $z \mapsto -1/brz^r$, que manda $0$ em $\infty$ (note que essa função não é uma mudança de coordenadas de fato, já que tem grau $r$; entendemos essa mudança de coordenadas em "setores" em torno de $0$ que cobrem o plano menos uma das semi-retas $\mathbb{R}_+$ ou $\mathbb{R}_-$, dependendo se estamos no caso atrator ou repulsor). Embora a ideia seja a mesma, as contas para demonstrar convergência da sequência de semi-conjugações é muito mais fina neste caso. Os $\mathcal{P}_i$ com $i$ ímpar são chamados de **pétalas atratoras**, enquanto que os com $i$ par são **pétalas repulsoras**. Por argumentos similares aos que concluem existência de ponto crítico em bacia de atração do infinito, obtemos:
+**Corolário:** Cada pétala atratora contém um ponto crítico.
+Voltemos agora ao caso em que o multiplicador é $\rho = e^{2\pi ip/q}$ para qualquer $q \geq 1$. Então o mapa $f^q$ tem $0$ como ponto fixo parabólico com multiplicador $1$, e vale o teorema da flor de Leau-Fatou. Como a derivada de $f$ é $\rho$, ela age por rotação nas direções atratoras em torno do $0$, e essa ação tem ordem exatamente $q$. Isso significa que as $r$ pétalas atratoras são divididas em ciclos de $q$ pétalas permutadas pela ação de $f$. Sabendo que cada pétala contém um ponto crítico de $f^q$, podemos concluir daí que cada ciclo de $q$ pétalas contém um ponto crítico de $f$. No caso em que $f$ é um polinômio, ela tem no máximo $d - 1$ pontos críticos no plano, e portanto tiramos que:
+**Corolário:** $r = \nu q$, $\nu \in \{1, \dots, d - 1\}$.
+No caso em que o ponto é periódico de período $k$ e o ciclo é racionalmente indiferente, temos um conjunto de pétalas em torno de cada ponto do ciclo, que são permutadas entre si pelo mapa $f^k$, e que são fixadas pelo mapa $f^{qk}$.
+====== Pontos fixos irracionalmente indiferentes ======
+No caso irracionalmetne indiferente, a situação é bem mais delicada. Seja $f(0) = 0$ e $f'(0) = e^{2i\pi\theta}$, $\theta \notin \mathbb{Q}$. Vamos dizer que $0$ é ponto fixo: **diofantino** se $\theta$ é diofantino, i.e. um número irracional que satisfaz
+\[ \left| \theta- \frac{p}{q} \right| \geq C/q^{\nu} \]
+para constantes $C>0$ e $\nu \geq 2$ e qualquer número racional $p/q\in\mathbb{Q}$; **linearizável** ou **de Siegel** se existe um difeomorfismo $\varphi$ de uma vizinhança $V$ de $z$ em um disco tal que $\varphi\circ f^{n}\circ \varphi^{-1}$ é da forma $z\mapsto \rho z$. O maior domínio $V$ de linearização é chamado de **disco de Siegel**. Um resultado fundamental (e difícil) nesta ordem de ideias é o seguinte:
+**Teorema (Siegel-1942)**: Todo ponto periódico diofantino é linearizável.
-**Teorema (Fatou-Julia):** A bacia imediata de um ciclo parabólico sempre contém um ponto crítico.
+Um ponto que é irracionalmente periódico que não é linerizável é dito **Ponto de Cremer**.
 ~~DISCUSSIONS~~