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| ebsd2021:raissi2 [2021/09/17 20:04] – escola | ebsd2021:raissi2 [2021/10/18 14:51] (current) – escola |
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| //Demonstração//: Sabemos que um mapa holomorfo da esfera nela mesma é racional, e podemos escrever \(\phi(z) = P(z)/Q(z)\). Como os zeros de \(\phi\) são os zeros de \(P\) e os pólos de \(\phi\) são os zeros de \(Q\), necessariamente \(\deg P \leq 1\) e \(\deg Q \leq 1\) (caso contrário, o mapa não seria invertível); note que é possível o grau de um desses polinômios ser \(0\), como no caso de \(\phi(z) = 1/z\), por exemplo. Escrevemos então | //Demonstração//: Sabemos que um mapa holomorfo da esfera nela mesma é racional, e podemos escrever \(\phi(z) = P(z)/Q(z)\). Como os zeros de \(\phi\) são os zeros de \(P\) e os pólos de \(\phi\) são os zeros de \(Q\), necessariamente \(\deg P \leq 1\) e \(\deg Q \leq 1\) (caso contrário, o mapa não seria invertível); note que é possível o grau de um desses polinômios ser \(0\), como no caso de \(\phi(z) = 1/z\), por exemplo. Escrevemos então |
| \[ \phi(z) = \frac{az + b}{cz + d} \] | \[ \phi(z) = \frac{az + b}{cz + d} \] |
| com \(a, b, c, d \in \mathbb{C}\). Para entender a condição nos coeficientes, primeiro vemos que um mapa dessa forma pode ser visto como uma ação do grupo \(M_2(\mathbb{C})\) de matrizes \(2\times 2\) a coeficientes complexos na esfera; de fato, se pomos | com \(a, b, c, d \in \mathbb{C}\). Para entender a condição nos coeficientes, primeiro vemos que um mapa dessa forma pode ser visto como uma ação de \(M_2(\mathbb{C})\), espaço de matrizes \(2\times 2\) a coeficientes complexos na esfera; de fato, se pomos |
| \[ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\cdot z := \frac{az + b}{cz + d} \] | \[ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\cdot z := \frac{az + b}{cz + d} \] |
| podemos verificar que | podemos verificar que |
| \[ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\cdot\left[ \begin{pmatrix} a' & b' \\ c' & d' \end{pmatrix}\cdot z \right] = \left[ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} a' & b' \\ c' & d' \end{pmatrix} \right]\cdot z \ \ \text{ e } \ \ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\cdot z = z. \] | \[ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\cdot\left[ \begin{pmatrix} a' & b' \\ c' & d' \end{pmatrix}\cdot z \right] = \left[ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} a' & b' \\ c' & d' \end{pmatrix} \right]\cdot z \ \ \text{ e } \ \ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\cdot z = z. \] |
| Dessa forma, \(\phi\) é invertível se e só se a matriz que o representa em \(M_2(\mathbb{C})\) é invertível, o que ocorre se e só se seu determinante é \(0\). | Dessa forma, \(\phi\) é invertível se e só se a matriz que o representa em \(M_2(\mathbb{C})\) é invertível, o que ocorre se e só se seu determinante é diferente de \(0\). |
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| Verificamos assim que os automorfismos de \(\overline{\mathbb{C}}\) são representados por matrizes em \(GL_2(\mathbb{C})\); note que a ação de uma matriz \(\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\) coincide com a ação da matriz \(\begin{pmatrix} \lambda a & \lambda b \\ \lambda c & \lambda d \end{pmatrix}\) para qualquer \(\lambda \in \mathbb{C}\setminus \{0\}\), e portanto podemos sempre assumir que o representante está no grupo \(SL_2(\mathbb{C})\), de matrizes com determinante \(1\). Como ainda vale que as ações de \(\text{Id}\) e \(-\text{Id}\) coincidem, temos que o grupo de automorfismos de \(\overline{\mathbb{C}}\) é dado por | Verificamos assim que os automorfismos de \(\overline{\mathbb{C}}\) são representados por matrizes em \(GL_2(\mathbb{C})\); note que a ação de uma matriz \(\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\) coincide com a ação da matriz \(\begin{pmatrix} \lambda a & \lambda b \\ \lambda c & \lambda d \end{pmatrix}\) para qualquer \(\lambda \in \mathbb{C}\setminus \{0\}\), e portanto podemos sempre assumir que o representante está no grupo \(SL_2(\mathbb{C})\), de matrizes com determinante \(1\). Como ainda vale que as ações de \(\text{Id}\) e \(-\text{Id}\) coincidem, temos que o grupo de automorfismos de \(\overline{\mathbb{C}}\) é dado por |
