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 Temos uma simples caracterização dos mapas holomorfos da esfera de Riemann nela mesma:
-**Teorema:** Um mapa \(f: \overline{\mathbb{C}} \to \overline{\mathbb{C}}\) é holomorfo se e somente se é racional, i.e. \(f(z) = P(z)/Q(z)\) para polinômios \(P, Q\).
+**Teorema 1:** Um mapa \(f: \overline{\mathbb{C}} \to \overline{\mathbb{C}}\) é holomorfo se e somente se é racional, i.e. \(f(z) = P(z)/Q(z)\) para polinômios \(P, Q\).
-//Demonstração//: Por um lado, se \(f\) é racional, claramente é holomorfa, pelos critérios da seção anterior. Por outro, se \(f\) é holomorfa, podemos assumir que \(f(\infty) = \infty\); de fato, se \(f(\infty) = z_0\), basta trocarmos \(f\) por \(z \mapsto 1/(f(z) - z_0)\), e essa nova função é racional se e só se \(f\) também o é. Desta forma, podemos restringir ao plano \(f|_{\mathbb{C}}: \mathbb{C} \to \overline{\mathbb{C}\}\) e temos uma quantidade finita de pólos (pelo Princípio da Identidade), digamos \(z_1, \dots, z_k\). Usando a estrutura complexa da esfera de Riemann, vemos que existem inteiros \(m_1, \dots, m_k \geq 1\) tais que a função \[ z \mapsto (z - z_i)^{m_i}f(z) \] não tem polo perto de \(z_i\), para todo \(i = 1, \dots, k\). Definindo
+//Demonstração//: Por um lado, se \(f\) é racional, claramente é holomorfa, pelos critérios da seção anterior. Por outro, se \(f\) é holomorfa, podemos assumir que \(f(\infty) = \infty\); de fato, se \(f(\infty) = z_0\), basta trocarmos \(f\) por \(z \mapsto 1/(f(z) - z_0)\), e essa nova função é racional se e só se \(f\) também o é. Desta forma, podemos restringir ao plano \(f|_{\mathbb{C}}: \mathbb{C} \to \overline{\mathbb{C}}\) e temos uma quantidade finita de pólos (pelo Princípio da Identidade), digamos \(z_1, \dots, z_k\). Usando a estrutura complexa da esfera de Riemann, vemos que existem inteiros \(m_1, \dots, m_k \geq 1\) tais que a função \[ z \mapsto (z - z_i)^{m_i}f(z) \] não tem polo perto de \(z_i\), para todo \(i = 1, \dots, k\). Definindo
 \[ Q(z) := \prod_{i=1}^k{ (z - z_i)^{m_i} } \]
 a função \(P(z) := Q(z)f(z)\) é holomorfa do plano no plano --- i.e. inteira. Além disso, colocando \(P(\infty) = \infty\), temos uma extensão de \(P\) para a esfera. Pela estrutura complexa, isso significa que o mapa \(1/P(1/z)\) é holomorfo em torno de \(0\), e que manda \(0\) em \(0\); em particular, \(1/P(1/z) = z^dh(z)\) perto de \(0\), onde \(d \geq 1\) e \(h\) é holomorfa e não se anula. Portanto, para \(z\) "perto de infinito" (i.e. grande o suficiente), vale que
 \[ P(z) = \frac{z^d}{h\left( \frac{1}{z} \right)} \implies |P(z)| \leq C|z|^d \]
-para alguma constante \(C > 0\) e todo \(z\) com \(|z|\) grande o bastante. Agora aplicamos o mesmo racioncínio do Teorema de Liouville: tomando \(R > 0\) grande o suficiente e \(C_R\) o círculo de raio \(R\), temos
+para alguma constante \(C > 0\) independente de \(z\). Agora aplicamos o mesmo racioncínio do Teorema de Liouville: tomando \(R > 0\) grande o suficiente e \(C_R\) o círculo de raio \(R\), temos
 \[ |P^{(d+1)}(z)| = \left| \frac{(d+1)!}{2\pi i}\int_{C_R}{ \frac{P(\zeta)}{(\zeta - z)^{d+2}}d\zeta } \right| \leq \frac{(d+1)!}{2\pi}\frac{CR^d}{(R - |z|)^{d+2}}2\pi R \xrightarrow[R\to\infty]{} 0 \]
 e portanto \(P^{(d+1)} \equiv 0\), o que implica que \(P\) é um polinômio. Finalmente, isto nos conclui que \(f(z) = P(z)/Q(z)\), como queríamos demonstrar.
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 Um //automorfismo// de um aberto \(U \subseteq \overline{\mathbb{C}}\) é um mapa holomorfo invertível \(\phi: U \to U\). Com o resultado anterior, podemos facilmente classificar os automorfismos da esfera.
-**Teorema:** Um mapa \(\phi: \overline{\mathbb{C}} \to \overline{\mathbb{C}}\) é um automorfismo se e só se é da forma
+**Teorema 2:** Um mapa \(\phi: \overline{\mathbb{C}} \to \overline{\mathbb{C}}\) é um automorfismo se e só se é da forma
 \[ \phi(z) = \frac{az + b}{cz + d} \]
 com \(ad - bc \neq 0\).
-//Demonstração//: Sabemos que um mapa holomorfo da esfera nela mesma é racional, e podemos escrever \(\phi(z) = P(z)/Q(z)\). Como os zeros de \(\phi\) são os zeros de \(P\) e os polos de \(\phi\) são os zeros de \(Q\), necessariamente \(\deg P \leq 1\) e \(\deg Q \leq 1\) (caso contrário, o mapa não seria invertível); note que é possível o grau de um desses polinômios ser \(0\), como no caso de \(\phi(z) = 1/z\), por exemplo. Escrevemos então
+//Demonstração//: Sabemos que um mapa holomorfo da esfera nela mesma é racional, e podemos escrever \(\phi(z) = P(z)/Q(z)\). Como os zeros de \(\phi\) são os zeros de \(P\) e os pólos de \(\phi\) são os zeros de \(Q\), necessariamente \(\deg P \leq 1\) e \(\deg Q \leq 1\) (caso contrário, o mapa não seria invertível); note que é possível o grau de um desses polinômios ser \(0\), como no caso de \(\phi(z) = 1/z\), por exemplo. Escrevemos então
 \[ \phi(z) = \frac{az + b}{cz + d} \]
-com \(a, b, c, d \in \mathbb{C}\). Para entender a condição nos coeficientes, primeiro vemos que um mapa dessa forma pode ser visto como uma ação do grupo \(M_2(\mathbb{C})\) de matrizes \(2\times 2\) a coeficientes complexos na esfera; de fato, se pomos
+com \(a, b, c, d \in \mathbb{C}\). Para entender a condição nos coeficientes, primeiro vemos que um mapa dessa forma pode ser visto como uma ação de \(M_2(\mathbb{C})\), espaço de matrizes \(2\times 2\) a coeficientes complexos na esfera; de fato, se pomos
 \[ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\cdot z := \frac{az + b}{cz + d} \]
 podemos verificar que
 \[ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\cdot\left[ \begin{pmatrix} a' & b' \\ c' & d' \end{pmatrix}\cdot z \right] = \left[ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} a' & b' \\ c' & d' \end{pmatrix} \right]\cdot z \ \ \text{ e } \ \ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\cdot z = z. \]
-Dessa forma, \(\phi\) é invertível se e só se a matriz que o representa em \(M_2(\mathbb{C})\) é invertível, o que ocorre se e só se seu determinante é \(0\).
+Dessa forma, \(\phi\) é invertível se e só se a matriz que o representa em \(M_2(\mathbb{C})\) é invertível, o que ocorre se e só se seu determinante é diferente de \(0\).
 Verificamos assim que os automorfismos de \(\overline{\mathbb{C}}\) são representados por matrizes em \(GL_2(\mathbb{C})\); note que a ação de uma matriz \(\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\) coincide com a ação da matriz \(\begin{pmatrix} \lambda a & \lambda b \\ \lambda c &  \lambda d \end{pmatrix}\) para qualquer \(\lambda \in \mathbb{C}\setminus \{0\}\), e portanto podemos sempre assumir que o representante está no grupo \(SL_2(\mathbb{C})\), de matrizes com determinante \(1\). Como ainda vale que as ações de \(\text{Id}\) e \(-\text{Id}\) coincidem, temos que o grupo de automorfismos de \(\overline{\mathbb{C}}\) é dado por
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 ====== Propriedades de Transformações de Möbius ======
-**Proposição:** Transformações de Möbius levam círculos em círculos.
+Temos duas importantes propriedades de transformações de Möbius:
-**Proposição:** Dadas duas triplas de pontos \((a_0, a_1, a_\infty)\) e \((b_0, b_1, b_\infty)\), existe uma única transformação de Möbius \(\phi\) com
+**Proposição 1:** Transformações de Möbius levam círculos em círculos.
+Note que estamos falando de círculos na esfera de Riemann; por exemplo, o mapa \(h(z) = i(1 + z)/(1 - z)\) manda o círculo unitário \(\mathbb{S^1}\) na reta real estendida \(\mathbb{R}\cup \{\infty\}\).
+**Proposição 2:** Dadas duas triplas de pontos \((a_0, a_1, a_\infty)\) e \((b_0, b_1, b_\infty)\), existe uma única transformação de Möbius \(\phi\) com
 \[ \phi(a_0) = b_0 \quad \quad \phi(a_1) = b_1 \quad \quad \phi(a_\infty) = a_\infty. \]
+//Demonstração//: Para a existência, basta construir uma transformação de Möbius com \(T(a_0) = 0, T(a_1) = 1, T(a_\infty) = \infty\). Podemos então tomar
+\[ T(z) := \frac{a_1 - a_\infty}{a_1 - a_0}\frac{z - a_0}{z - a_\infty}. \]
+Para a unicidade, basta provarmos que uma transformação de Möbius que fixa \(0, 1\) e \(\infty\) é a identidade. De fato, se temos \(T(z) = (az + b)/(cz + d)\), então
+  - \(T(0) = 0 \iff b = 0\);
+  - \(T(\infty) = \infty \iff c = 0\);
+  - \(T(1) = 1 \iff a + b = c + d \implies a = d\).
+Dessa forma, a matriz associada a \(T\) é um múltiplo da identidade, o que em \(PSL_2(\mathbb{C})\) significa que ela está na mesma classe de equivalência da identidade, concluindo que \(T(z) = z\).
 ~~DISCUSSIONS~~