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 Um último teorema importante para a consideração de automorfismos complexos do disco unitário \( \mathbb{D} := D(0,1) \) é o seguinte:
-**Teorema (Schwarz):** Seja \( f: \mathbb{D} \to \mathbb{C} \) é holomorfa com \( |f(z)| \leq 1 \) para todo \( z \in \mathbb{D} \), e \( f(0) = 0 \). Então, para todo \( z \in \mathbb{D} \), vale \( |f(z)| \leq |z| \) e \( |f'(0)| \leq 1 \). Ainda mais, se para algum \( z \neq 0 \) vale que \( |f(z)| = |z| \), ou \( |f'(0)| = 1 \), então \( f \) é da forma \( f(z) = \lambda z \), para algum \( \lambda \in \mathbb{C} \) com \( |\lambda| = 1 \).
+**Teorema (Schwarz):** Seja \( f: \mathbb{D} \to \mathbb{C} \) holomorfa com \( |f(z)| \leq 1 \) para todo \( z \in \mathbb{D} \), e \( f(0) = 0 \). Então, para todo \( z \in \mathbb{D} \), vale \( |f(z)| \leq |z| \) e \( |f'(0)| \leq 1 \). Ainda mais, se para algum \( z \neq 0 \) vale que \( |f(z)| = |z| \), ou \( |f'(0)| = 1 \), então \( f \) é da forma \( f(z) = \lambda z \), para algum \( \lambda \in \mathbb{C} \) com \( |\lambda| = 1 \).
 A demonstração segue do fato de que poderemos escrever \( f \) como \( f(z) = zg(z) \), com \( g : \mathbb{D} \to \mathbb{C} \) holomorfa, e portanto \( |g(z)| \leq \frac{1}{r} \), para todo \( |z| = r < 1 \). O princípio do Máximo Módulo implica que para todo \( |z| \leq r \), valerá \( |g(z)| \leq \frac{1}{r} \), e portanto tomando \( r \to 1 \), \( |g(z)| \leq 1 \). Note que para \( z \neq 0 \), \( g(z) = \frac{f(z)}{z} \), e \( g(0) = f'(0) \). O resultado assumindo igualdade em um dos casos é consequência natural do princípio do máximo módulo novamente, com \( g \) constante igual a \( \lambda \) em \( \mathbb{D} \).
 ~~DISCUSSIONS~~