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 **Teorema (Identidade): ** Se \( f, g : U \subseteq \mathbb{C} \to \mathbb{C} \) são holomorfas em \( U \neq \emptyset \) aberto conexo, e \( f \) e \( g \) coincidem num subconjunto que possui ponto de acumulação em \( U \), então \( f = g \). Equivalentemente, se \( f : U \to \mathbb{C} \) é função holomorfa não constante igual a \(0\), então o conjunto de seus zeros \( \{ z \in U \mid f(z) = 0 \} \) é discreto em \( U \).
-É suficiente demonstrar a segunda afirmação; a ideia é que se existe ponto de acumulação destes zeros, todas suas derivadas neste ponto seriam nulas, e o conjunto \( S = \{ z \in U \mid f^{(n)}(z) = 0 \ \forall n \in \mathbb{N} \} \) é clopen. De fato, se \( w \in U \) é ponto de acumulação de sequência \( (z_n)_{n \in \mathbb{N}} \) em \( U \) de zeros de \( f \), então \( f(w) = 0 \). Mas então perto de \( w \), \( f \) tem forma
+É suficiente demonstrar a segunda afirmação; a ideia é que se existe ponto de acumulação destes zeros, todas suas derivadas neste ponto seriam nulas, e o conjunto \( S = \{ z \in U \mid f^{(n)}(z) = 0 \ \forall n \in \mathbb{N} \} \) é "clopen" (i.e. aberto e fechado). De fato, se \( w \in U \) é ponto de acumulação de sequência \( (z_n)_{n \in \mathbb{N}} \) em \( U \) de zeros de \( f \), então \( f(w) = 0 \). Mas então perto de \( w \), \( f \) tem forma
 \[
 f(z) = a_1(z-w) + a_2 (z-w)^2 + \ldots
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 Um último teorema importante para a consideração de automorfismos complexos do disco unitário \( \mathbb{D} := D(0,1) \) é o seguinte:
-**Teorema (Schwarz):** Seja \( f: \mathbb{D} \to \mathbb{C} \) é holomorfa com \( |f(z)| \leq 1 \) para todo \( z \in \mathbb{D} \), e \( f(0) = 0 \). Então, para todo \( z \in \mathbb{D} \), vale \( |f(z)| \leq |z| \) e \( |f'(0)| \leq 1 \). Ainda mais, se para algum \( z \neq 0 \) vale que \( |f(z)| = |z| \), ou \( |f'(0)| = 1 \), então \( f \) é da forma \( f(z) = \lambda z \), para algum \( \lambda \in \mathbb{C} \) com \( |\lambda| = 1 \).
+**Teorema (Schwarz):** Seja \( f: \mathbb{D} \to \mathbb{C} \) holomorfa com \( |f(z)| \leq 1 \) para todo \( z \in \mathbb{D} \), e \( f(0) = 0 \). Então, para todo \( z \in \mathbb{D} \), vale \( |f(z)| \leq |z| \) e \( |f'(0)| \leq 1 \). Ainda mais, se para algum \( z \neq 0 \) vale que \( |f(z)| = |z| \), ou \( |f'(0)| = 1 \), então \( f \) é da forma \( f(z) = \lambda z \), para algum \( \lambda \in \mathbb{C} \) com \( |\lambda| = 1 \).
 A demonstração segue do fato de que poderemos escrever \( f \) como \( f(z) = zg(z) \), com \( g : \mathbb{D} \to \mathbb{C} \) holomorfa, e portanto \( |g(z)| \leq \frac{1}{r} \), para todo \( |z| = r < 1 \). O princípio do Máximo Módulo implica que para todo \( |z| \leq r \), valerá \( |g(z)| \leq \frac{1}{r} \), e portanto tomando \( r \to 1 \), \( |g(z)| \leq 1 \). Note que para \( z \neq 0 \), \( g(z) = \frac{f(z)}{z} \), e \( g(0) = f'(0) \). O resultado assumindo igualdade em um dos casos é consequência natural do princípio do máximo módulo novamente, com \( g \) constante igual a \( \lambda \) em \( \mathbb{D} \).
 ~~DISCUSSIONS~~