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-Como já vimos anteriormente uma classe importante de difeomorfismos parcialmente hiperbólicos é o conjunto de difeomorfismos tempo um (ou tempo $15$) de um fluxo de Anosov. Porém é possível imaginar que para alguma função não constante $\tau$, a discretização por tempo $\tau$ também seja parcialmente hiperbólico. Apesar de não estar claro que exatamente para quais funções $\tau : M \rightarrow \mathbb{R}_{> 0}$ o difeomorfismo $f(x):= \phi^{\tau(x)}(x)$ é parcialmente hiperbólico, mas temos muitos exemplos de tais difeomorfismos.
+<WRAP  round box 40%>
+Fluxo Anosov:
+</WRAP>
+Lembramos que um fluxo $\phi_t : M \rightarrow M$ gerado por um campo vetorial $X$ é Anosov quando $D \phi^t$ preserva a decomposição $TM = E^s \oplus \mathbb{R}X \oplus E^u $ e existe $T > 0$ tal que
+$$
+\|D\phi^T v^s\| < \frac{1}{2} < 2 < \|D\phi^T v^u\|
+$$ para todos os vetores unitários $v^s, v^u \in E^s, E^u.$
+Pela teoria clássica temos folheações fortemente estável e instável $\mathcal{F}^s, \mathcal{F}^u$ e saturando essas folheações por órbitas do fluxo obtermos duas outras folheações nvariantes (fracamente estável e fracamente instável).
+Como já vimos anteriormente uma classe importante de difeomorfismos parcialmente hiperbólicos é o conjunto de difeomorfismos tempo um (ou tempo $15$) de um fluxo de Anosov. Porém é possível imaginar que para alguma função não constante $\tau$, a discretização por tempo $\tau$ também seja parcialmente hiperbólico. Apesar de não estar claro que exatamente para quais funções $\tau : M \rightarrow \mathbb{R}_{> 0}$, o difeomorfismo $f(x):= \phi^{\tau(x)}(x)$ é parcialmente hiperbólico, temos muitos exemplos de tais difeomorfismos parcialmente hiperbólicos. Os difeomorfismos parcialmente hiperbólicos fluxos de Anosov discretizados são definidos "essencialmente" desta forma. Em seguida vamos definir fluxos de Anosov discretizados e sua generalização fluxo de Anosov colapsado.
+Primeiramente vamos definir fluxos toplogcamente Anosov.
 <WRAP  round box 40%>
 Fluxo topologicamente Anosov:
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 </WRAP>
-Seja $\phi^t : M \rightarrow M$ um fluxo contínuo gerado por um campo contínuo $X = \frac{\partial \phi_t}{\partial t}.$ O fluxo é topologicamente Anosov se preservar um par de folheações codimensão um $\mathcal{F}^{cs}, \mathcal{F}^{cu}$ satisfazendo:
+Seja $\phi^t : M \rightarrow M$ um fluxo contínuo gerado por um campo contínuo $X = \frac{\partial \phi_t}{\partial t}.$ O fluxo é topologicamente Anosov se preservar par de de folheações codimensão um $\mathcal{F}^{cs}, \mathcal{F}^{cu}$ e par de folheações $\mathcal{F}^s, \mathcal{F}^u$ satisfazendo:
-  - para quaisquer $x, y$ na mesma folha $\mathcal{F}^{cs},$ existe uma reparametrização conteinua crescente $h : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ tal que $d(\phi_t(x), \phi_{h(t}(y)) \rightarrow 0$ quando $t \rightarrow \infty$. Temos algo similar para folheação fracamente instável.
+  - para quaisquer $x, y$ na mesma folha estável forte $\mathcal{F}^{s},$  $d(\phi_t(x), \phi_{t}(y)) \rightarrow 0$ quando $t \rightarrow \infty$. Temos algo similar para folheação instável.
-  - Existe $\epsilon > 0$ tal que para quaisquer $x, y$ na mesma folha estável fraca e não pertencente a mesma órbita, existe $t \leq 0$ tal que
+  - As folheações (dimensão 2) $\mathcal{F}^{cs},\mathcal{F}^{cu}$ são invariantes e topologicamente transversais.
- $$ d(\phi_t (x), \phi_t(y) > \epsilon.$$
+Um difeomorfismo é chamado fluxo de Anosov discretizado se existir $\tau : M \rightarrow \mathbb{R}_{>0}$ tal que $f(x) = \phi^{\tau(x)}(x).$  Os difeormorfismos $C^1$ próximo a tempo um de fluxo de Anosov são fluxo de Anosov discretizado.
+<WRAP round box 40%>
+Equivalência orbital
+</WRAP>
+Sejam $\phi^t_1, \phi^t_2$ dois fluxos de Anosov topológico em $M$ e $N$ respectivamente. Dizemos que são equivalente orbital se existir homeomorfismo $\beta: M \rightarrow N$ que envia órbitas de $\phi^t_1$ a órbitas de $\phi^t_2$.
+<WRAP  round tip 60%>
+M. Shannon: Todo fluxo topologicamente Anosov é equivalente orbital a um fluxo de Anosov.
+</WRAP>
+Um auto-equivalência $\beta$ de fluxo de Anosov $\phi^t$ é dita <color #ed1c24>trivial</color>, se existir uma função contínua $\tau$ tal que $\beta (x) = \phi^{\tau(x)}(x).$ Assim dizemos duas auto-equivalências $\alpha, \beta$ são da mesma classe, se $\beta \circ \alpha^{-1}$ é uma auto-equivalência trivial.
+<WRAP  round box 40%>
+Fluxo de Anosov colapsado
+</WRAP>
+Um difeomorfismo $f: M \rightarrow M$ parcialmente hiperbólico é dito fluxo de Anosov colapsado, se existirem fluxo de Anosov topológico $\phi^t$, $h: M \rightarrow M $ contínua e homotópica a identidade e uma auto-equivalência $\beta: M \rightarrow M$ de $\phi^t$ tais que:
+  * $h$ é diferenciável ao longo das órbitas do fluxo $\phi^t$ e transforma espaço tangente das ´prbitas em fibrado central da $f$
+  * $h$ é uma semi-conjugação entre $\beta$ e $f$: $$ f \circ h(x) = h \circ \beta(x).$$
+<WRAP center round info 60%>
+Fluxos de Anosov discretizados são fluxo de Anosov colapsado. Basta tomar $h= id$ e $\beta$ uma auto-equivalência trivial.
+</WRAP>
+<WRAP center round info 60%>
+O exemplo  de Bonatti-Wilkinson de difeomorfismo homotopico a identidade  e não sendo discretização de fluxo de Anosov também é fluxo de Anosov colapsado com $\beta$ uma auto-equivalência não trivial, porém de órdem finita: um iterado da auto-equivalência é trivial.
+</WRAP>
-Shannon: Todo fluxo topologicamente Anosov é orbit equivalente a um fluxo de Anosov.
+~~DISCUSSION~~