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 Teorema (Hertz-Hertz-Ures) Suponhamos $f :  M^3 \rightarrow M^3$ parcialmente hiperbólico e que existe uma superfície compacta tangente a $E^{cs}$. Então:
   - existe um $2-$toro periódico $T = f^k(T)$ tangente a $E^{cs}$
-  - $f^k|_{T} é isotópico a um difeomorfismo Anosov e
+  - $f^k|_{T}$ é isotópico a um difeomorfismo Anosov e
   - módulo recobrimento finito $M$ é $\mathbb{T}^3$ ou variedade de suspensão de difeomorfismo de Anosov.
+==== Construção de conjugação por folha ====
+A ideia de construção de conjugação por folha com modelos algébricos nas variedades nil e sol é usar a geometria da variedade $M$ para entender $f_*$, a ação de $f$ no primeiro  grupo de homologia (como fizemos no caso de $\mathbb{T}^3$) e achar um difeomorfismo algebrico $g$ tal que $g_*= f_*$. Ai, pelo fato de que $\tilde{M}$ é homeomorfo a $\mathbb{R}^3$ então pelos argumentos de topologia algébrica temos que $f$ e $g$ são homotópicos. Há de demonstrar que $g$ é parcialmente hiperbólico também.
+Finalmente precisamos achar $h: M \rightarrow M$ homeomorfismo que é a conjugação por folha e homotópico a ideintidade. Fazemos tudo no recobrimento universal $\tilde{M}$ e consideramos as folheações levantadas também. Em paticular precisamos ficar atento que $d(\tilde{h}, id|_{\tilde{M}}) < \infty.$ Vamos supor que já temos tal conjugação e obter algumas propriedades.
+<color #22b14c>Uma observação chave e elementar:
+</color>  seja $\mathcal{L}$ uma folha de $\tilde{\mathcal{F}}^{cs}$ passando pelo ponto $\tilde{h}(p)$. Então
+$$
+ \sup_{k \in \mathbb{Z}} d(\tilde{f}^k(p), \tilde{g}^k(L)) \leq \sup_{k \in \mathbb{Z}} d(\tilde{f}^k(p), h\tilde{f}^k(p)) < \infty.
+$$
+Portanto para obter $\tilde{h}$ vamos buscar uma única folha que satisfaz $\sup_{k \in \mathbb{Z}} d(\tilde{f}^k(p), \tilde{g}^k(L)) < \infty.$ Se conseguir achar tal correspondência teremos uma função $H^{cs}$ que corresponde a cada ponto de $\tilde{M}$ uma única folha (da folheação $\tilde{A}^{cs}$) $H^{cs}(p)$. De forma similar achamos $H^{cu}.$ Além disto mostraremos que as folheas $\tilde{\mathcal{F}}^{cs}$ são fibras da função $H^{cs}$, similar para $H^{cu}$ e portanto $H : \tilde{M} \rightarrow \mathcal{A}^c$ é definida de forma natural: $H(x) :=H^{cs}(x) \cap H^{cu}(x)$. Precisamos ainda mostrar que existe $\tilde{h} : \tilde{M} \rightarrow M$ que $h(x) \in H(x)$ e que $H$ induz um homeomorfismo $h$ em $M$ também.
+ ~~DISCUSSION~~