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 Observe que $f_*$ define uma transformação linear em $\mathbb{R}^3$ também. em particular pela proposicão acima (aplicado para $f$ e $f^{-1}$) concluímos que $f_*$ induz um automorfismo parcialmente hiperbólico em $\mathbb{R}^3.$
-<color #ed1c24>Demonstração</color> : Assumimos por contradição que $f_* = id.$ Então existe um levantamento $\tilde{f} : \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^3$ tal que $\sup_{x \in \mathbb{R}^3} |\tilde{f}(x) - x| < \infty.$ Isto implica que existe $c > 0$ tal que $\tilde{f}^n (B(x, r)) \subset B(\tilde{f}^n(x), r + nc)$ e observe que $$vol B(\tilde{f}^n(x), r + nc) = P(n)$$ onde $P(n)$ é um polinômio. Observe que aqui estamos usando uma jogada entre topologia e geometria: o grupo fundamental pequeno (crescimento polinomial) está relacionado com volume de bolas crescerem polinomial. Para ver um resultado mais geral veja [[https://people.math.osu.edu/davis.12/courses/8800/milnor.pdf|Nota do Milnor]]
+<color #ed1c24>Demonstração</color> : Assumimos por contradição que $f_* = id.$ Então existe um levantamento $\tilde{f} : \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^3$ tal que $\sup_{x \in \mathbb{R}^3} |\tilde{f}(x) - x| < \infty.$ Isto implica que existe $c > 0$ tal que $\tilde{f}^n (B(x, r)) \subset B(\tilde{f}^n(x), r + nc)$ e observe que $$vol (B(\tilde{f}^n(x), r + nc)) = P(n)$$ onde $P(n)$ é um polinômio. Observe que aqui estamos usando uma jogada entre topologia e geometria: o grupo fundamental pequeno (crescimento polinomial) está relacionado com volume de bolas crescerem polinomial. Para ver um resultado mais geral veja [[https://people.math.osu.edu/davis.12/courses/8800/milnor.pdf|Nota do Milnor]]
-Porém, seja $J \subset B(x, r) \cap \mathcal{F}^u$ uma placa de folha instável.
+Seja $J \subset B(x, r) \cap \mathcal{\tilde{F}}^u$ uma placa de folha instável. Então $|\tilde{f}^n(J)| \sim e^{n \gamma}$ (comprimento na folha instável cresce exponencialmente!) Portanto podemos achar retornos muito proximos da curva instável no recobrimento universal, que é impossível.(veja propriedade 2 acima)
+Lembrando que se $f$ for tempo um de fluxo de Anosov em $M^3$ então $f$ é isotópico a identidade. Entretanto sabemos que $\pi_1(M^3)$ tem que ter crescimento exponencial.([[ebsd2021:margulis|Margulis, Plante-Thurston]])
+De fato vale um resultado mais forte:
+Teorema (Burago-Ivano e Parawani) Seja $f: M^3 \rightarrow M^3$ parcialmente hiperbólico tal que $\pi_1(M)$ tem crescimento polinomial, então (módulo recobrimento finito) $M$ é um fibrado por círculos sobre toro e $f_* : H^1(M, \mathbb{R}) \rightarrow H^1(M, \mathbb{R})$ e parcialmente hiperbólico.
+Usando este resultado Hammerlindl-Potrie conseguiram classificar parcialmente hiperbólicos nestas variedades:
+Teorema: Seja $f :  M^3 \rightarrow M^3$ parcialmente hiperbólico tal que $\pi_1(M)$ tem crescimento polinomial (virtulmente nilpotente) e <color #ed1c24>suponhamos que não existe superfície compacta tangente a $E^{cs}$ ou $E^{cu}$</color>. Então, módulo recobrimento finito $f$ é conjugado por folhas centrais com um modelo algébrico.
+a superfície compacta tangente a $E^{cs}$ ou $E^{cu}$ é vilã da historia de classificação. É o tal de Toro Anosov! De fato primeiramente observem que tal superfície compacta por possuir uma folhação sem singularidade tem que ser toro! Aqui precisamos mencionar um resultado chave no desenvolvimento da teoria:
+Teorema (Hertz-Hertz-Ures) Suponhamos $f :  M^3 \rightarrow M^3$ parcialmente hiperbólico e que existe uma superfície compacta tangente a $E^{cs}$. Então:
+  - existe um $2-$toro periódico $T = f^k(T)$ tangente a $E^{cs}$
+  - $f^k|_{T}$ é isotópico a um difeomorfismo Anosov e
+  - módulo recobrimento finito $M$ é $\mathbb{T}^3$ ou variedade de suspensão de difeomorfismo de Anosov.
+==== Construção de conjugação por folha ====
+A ideia de construção de conjugação por folha com modelos algébricos nas variedades nil e sol é usar a geometria da variedade $M$ para entender $f_*$, a ação de $f$ no primeiro  grupo de homologia (como fizemos no caso de $\mathbb{T}^3$) e achar um difeomorfismo algebrico $g$ tal que $g_*= f_*$. Ai, pelo fato de que $\tilde{M}$ é homeomorfo a $\mathbb{R}^3$ então pelos argumentos de topologia algébrica temos que $f$ e $g$ são homotópicos. Há de demonstrar que $g$ é parcialmente hiperbólico também.
+Finalmente precisamos achar $h: M \rightarrow M$ homeomorfismo que é a conjugação por folha e homotópico a ideintidade. Fazemos tudo no recobrimento universal $\tilde{M}$ e consideramos as folheações levantadas também. Em paticular precisamos ficar atento que $d(\tilde{h}, id|_{\tilde{M}}) < \infty.$ Vamos supor que já temos tal conjugação e obter algumas propriedades.
+<color #22b14c>Uma observação chave e elementar:
+</color>  seja $\mathcal{L}$ uma folha de $\tilde{\mathcal{F}}^{cs}$ passando pelo ponto $\tilde{h}(p)$. Então
+$$
+ \sup_{k \in \mathbb{Z}} d(\tilde{f}^k(p), \tilde{g}^k(L)) \leq \sup_{k \in \mathbb{Z}} d(\tilde{f}^k(p), h\tilde{f}^k(p)) < \infty.
+$$
+Portanto para obter $\tilde{h}$ vamos buscar uma única folha que satisfaz $\sup_{k \in \mathbb{Z}} d(\tilde{f}^k(p), \tilde{g}^k(L)) < \infty.$ Se conseguir achar tal correspondência teremos uma função $H^{cs}$ que corresponde a cada ponto de $\tilde{M}$ uma única folha (da folheação $\tilde{A}^{cs}$) $H^{cs}(p)$. De forma similar achamos $H^{cu}.$ Além disto mostraremos que as folheas $\tilde{\mathcal{F}}^{cs}$ são fibras da função $H^{cs}$, similar para $H^{cu}$ e portanto $H : \tilde{M} \rightarrow \mathcal{A}^c$ é definida de forma natural: $H(x) :=H^{cs}(x) \cap H^{cu}(x)$. Precisamos ainda mostrar que existe $\tilde{h} : \tilde{M} \rightarrow M$ que $h(x) \in H(x)$ e que $H$ induz um homeomorfismo $h$ em $M$ também.
+ ~~DISCUSSION~~