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 Entretanto a esfera não admite difeomorfismos parcialmente hiperbólicos....
-====== Exemplo ($\mathbb{T}^3$) ======
+====== Exemplo ($\mathbb{T}^3$, nil-variedade, Seifert) ======
- : Este exemplo é mais simples e é obtido por $\mathbb{R}^3 / \mathbb{Z}^3$.
+Este exemplo é mais simples e é obtido por $\mathbb{R}^3 / \mathbb{Z}^3$.
 Outra forma de falar é considerar um cubo e identificar os lados opostos por <color #ed1c24>translação</color>. Importante ressaltar que a translação é uma isometria na geometria euclideana. Precisamos observar que estamos quocientando por ação de isometrias de uma geometria. Essa ideia vai nos acompanhar no conhecimento de zoologico de $3-$variedades.
-O toro $\mathbb{T}^3$ é um grupo de Lie abeliano e portanto essa variedade também naturezza algébrica e difeomorfismos parcialmente hiperbólicos conhecidos são "algebricos".
+O toro $\mathbb{T}^3$ é um grupo de Lie abeliano e portanto essa variedade também natureza algébrica e difeomorfismos parcialmente hiperbólicos conhecidos são "algebricos".
+Em dimensão três além de $\mathbb{T}^3$ existe outro (único) grupo de Lie compacto nilpotente: Grupo de Heisenberg, que não é abeliano. Este grupo de Lie consiste em matrizes $3\times 3$:
+$$
+\begin{pmatrix}
+& x & x\\
+& 1 & y\\
+& 0 & 1
+\end{pmatrix}
+$$
+tais que $x, y, z \in \mathbb{R}$ com produto usual de matrices.
+Vamos apresentar agora um modelo geométrico de nil-variedade:  Quocientamos o grupo definida acima por lattice d ematrices com entradas inteiras. (compare com caso de toro $3-$dimensional porém não misturem)
+Novamente um domínio fundamental é o cúbo unitário.
+$$
+ \{(x, y, z) \in \mathcal{H} : 0 \leq x, y, z \leq 1\}.
+$$
+Agora vamos identificar faces opostos com algumas transformações específicas: Usando a multiplicação do grupo
+$$
+ (1,0,0) . (x,y,z)= (x+1, y , y+z)
+$$
+vamos identificar os lados esquerdos e direito de seguinte forma:
+$$
+ (0, y, z) \sim (1, y, z+y).
+$$
+(figura abaixo foi retirado do artigo de Potrie-Hammerlindl: Pointwise partial hyperbolicity in 3-dimensional nilmanifolds)
+{{ :ebsd2021:a-nilmanifold-can-be-constructed-from-a-cube-by-identifying-left-and-right-faces-in-a.png?200 |}}
+Enquanto o grupo fundamental de $\mathbb{T}^3$ é abeliano, o grupo fundamental de nilvariedade introduzida acima nõa é abeliano, porém é nilpotente. Uma propriedade em comum entre estes dois grupos é que ambos tem  [[https://en.wikipedia.org/wiki/Growth_rate_(group_theory)|crescimento polinomial.]]
+Existe uma outra forma de indentificar os lados opostos de cubo e obter uma variedade diferente. Em vez de usar translação, vamos considerar uma translação e depois rotação de $\frac{\pi}{2}$ para identificar a face de cima e baixo e identificamos outras faces com translação usaual para obter toro. Assim obteremos uma variedade de Seifert com uma folha singular que corresponde o centro do quadrado que é fixo pela rotação. Mais esfecificamente considere $\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^3 : 0 \leq |x|, |y|, |z| \leq 1\}$ e vamos identificar $(x, y, 0) \sim (-y, x, 1)$ e duas identificações $(0, y, z) \sim (1, y, z)$ e $(x, 0, z) \sim (x, 1, z).$
+Fibraçõa de Seifert: No exemplo acima, temos uma folheação por círculos "verticais" que <color #ed1c24>não é uma fibração</color>, justamente por causa de uma fibra (Fibra singular de Seifert) que corresponde ao ponto fixo da rotação no plano $xy$: A fibra $\{(0, 0, t), t \in [0, 1]\}$ com a identificação $(0, 0, 0) \sim (0, 0, 1)$ representa um círculo que está encurralado por círculos topológicos que dão quatro voltas em torno dele: rotação de ângulo $\pi/2$ tem período $4.$
+Uma coisa em comum entre as três variedades acima é que todas as tries tem uma folheação por círculos.
+===== "Decomposição primária" =====
 Soma conexa de variedades: Dadas duas variedades $n$-dimensional $M_1, M_2$, retirando uma bola $n-$dimensional de cada uma e "colando" ao longo da fronteiras (esfera $S^{n-1}$) obtemos $M_1 \# M_2$.
+~~DISCUSSION~~