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 Demonstração do Teorema: Seja $\pi: \tilde{M} \rightarrow M$ o recobrimento universal e levantamos $\phi_t$ a um fluxo e $\tilde{\mathcal{F}}^{ws}$ o levantamento da folheacão estavel fraca em $\tilde{M}.$
-Considere um arco $J$ tangente a distribuição $\tilde{E}^u$. Podemos mostrar que $\tilde{phi}_t(J)$
+Considere um arco $J$ tangente a distribuição $\tilde{E}^u$. Podemos mostrar que $\tilde{\phi}_t(J)$ não intersecta uma caixa folheada duas vezes. De fato se isso ocorrer, podemos achar uma curva fechada $\gamma$ em $\tilde{M}$ transversal a folheação $\tilde{\mathcal{F}}^{ws}.$ Mas observe que isto significa que na variedade $M$ a folheação $\mathcal{F}^{ws}$ tem uma curva transversal $\pi(\gamma)$ que é homotopicamente nula.
+Já que caixas folheadas tem tamanhos uniforme, então existe $c_0 > 0$ tal que:
+$$
+ vol (B(\tilde{\phi}_t(J), 1) > c_0 length(\tilde{\phi}_t(J)).
+$$
+Já que $J$ é tangente a $E^u$, então para algum $\delta > 0$ temos  $length (\tilde{\phi}_t(J)) > c_1 e^{\delta t}$ e então temos
+$$
+ vol (B(\tilde{\phi}_t(J), 1) > c_0 c_1 e^{\delta t}.
+$$
+Por outro lado vamos mostrar que existe $c_2 > 0$ tal que se $x_0 \in J$ então $\tilde{\phi}_t(J)$ é contido na $B(x_0, R_t)$ onde $R_t \leq c_2 t + diam (J).$ Isto mostra que o volume de uma bola de raio linear em $t$ está crescendo exponencial e termina a demonstração de crescimento expnencial.
+Para provar afirmação, basta observar que para qualquer $x \in J$:
+$$
+d(x_0, \tilde{\phi}_t(x)) \leq d(x_0, x) + d(x, \tilde{\phi}_t(x)) \leq diam(J) + c_2 t.
+$$
+constante $c_2$ depende da derivada de $\phi_t$ ao longo das orbitas do fluxo que é uniformemente limitada em $t.$
+~~DISCUSSION~~