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-====== Números reais ======
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-(Tolstoy?): Homem é como uma fração. O numerador é o que é de verdade e denominador o que ele pensa sobre si. Cada vez que o denominador aumenta, ele diminui.
-Números naturais são os que conhecemos desde primeiros anos de vida. Aprendemos números inteiros $ \mathbb{Z}$ cedo também. Em seguida aprendemos frações números racionais. Vale lembrar que os números racionais por muito tempo eram como os únicos números. A primeira descoberta de números irracionais é atribuida a Hipaso (um dos seguidores de Pitágoras) que infelizmente foi jogado ao mar pelos outros seguidores do Pitágoras por acreditar em números não racional!
-Em vez de começar com argumento do Hipaso vamos apresentar o exemplo mais simples de um número irracional: A hipotenusa de um triângulo retangular com catetos iguais a 1 não pode ser racional, ou seja hipotenusa e catetos não são comensuráveis, i.e não existem $ m, n \in \mathbb{Z} , m \sqrt{2} = n $
-De fato pode se mostrar que se n é um número natural e não é quadrado perfeito então $\sqrt{n}$ não é racional.
-====== Algoritmo Euclideano: ======
-Veja https://pt.wikipedia.org/wiki/Algoritmo_de_Euclides para mais informações.
-Dado dois números $ a_0 <  a_1 $ queremos achar um outro número tal que ambos $a_0, a_1 $ sejam múltiplo inteiro deste último.
-Seja $ n_1$ maior número inteiro tal que $ na_1 \leq a_0  .$ Assim
-$ a_0 = n_1 a_1 + a_2,  0 \leq a_2 < a_1 $
-Se $ a_2=0 $ então $ a_1 $ é o número que procurávamos. Caso contrário fazemos o mesmo processo com $ a_1 $ e $ a_2 $. Assim obtemos $ n_2 $ e $ a_3 $ tais que
-$ a_1 = n_2 a_2+ a_3, 0 \leq a_3 < a_2 $
-Se $ a_3=0 $ então $ a_2$ é o número desejado. (ambos $ a_0 $ e $ a_1$ são múltiplo de $ a_2 $). Caso contrário continuamos o processo. Se este processo parar, i.e
-$ a_{k-1} = n_k a_k $
-então $ a_k $ é o número desejado. Acontece que em alguns casos este processo não vai parar! assim dizemos que $ a_0 $ e $ a_1 $ não são comensuráveis. Veja o argumento de Hipaso a seguir.
-====== Argumento do Hipaso: ======
-Afirmação é que o lado de um pentâgono regular e seu diagonal não são comensuráveis.
-$ a_0= $ comprimento de diagonal e $ a_1= $ comprimento do lado do pentâgono
-{{:pentagon.png?400|}}
-Vamos usar seguintes fatos de geometria euclideana:
-  - $ \frac{AB}{AC} = \frac{EB^{'}}{ED} $ usando semelhança de triângulos.
-  - $ ABCB^{'} $ é um paralelogramo e portanto $ \frac{a_1}{a_0} = \frac{a_0 - a_1}{a_1} $. Denotamos por $ a_2 = a_0 - a_1.$ Observe  que $ 0 < a_2 < a_1 $ e $ a_0 = 1 \times a_1 + a_2 $
-  - Temos que $ AD^{'}A^{'}C^{'} $ é paralelogramo e portanto o diagonal de pentágono menor $ A^{'}B^{'}C^{'}D^{'}E^{'} $ é $ a_2 $ e seu lado igual $ a_3= a_1 - a_2$ Argumentado como o caso do pentágono inicial, concluimos que $ a_1 = 1 \times a_2 + a_3, $ sendo que $ 0 < a_3 < a_2 $
-  - continuando assim temos $ a_2 = 1 \times a_3 + a_4, 0 < a_4 < a_3 $ e $ a_3 = 1 \times a_4 + a_5 $ onde $ 0 < a_5 < a_4 .$
-  - continuando este argumento e substituindo $ a_{n+1} = a_{n-1} - a_n $ teremos                      $ a_{n-1} = 1 \times a_n + a_{n+1} $
-já que sempre $ a_n \neq 0 $ concluimos que $ \frac{a_0}{a_1} $ não é racional!
-Essa última afirmação precisa de um argumento. Precisamos verificar que se dois números são comensuráveis, então o algoritmo de euclides é finito.
-De fato:
-<WRAP center round tip 60%>
-$ \frac{a_1}{a_0} = \frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\cdots}}} $
-</WRAP>
-A forma que representamos $ \frac{a_1}{a_0} $ é chamada de fração contínua. Hoje em dia, essa forma de representação não é usual para números. Entretanto frações contínuas formam parte de um tópico interessante para aproximar números irracionais e uma área em sistemas dinâmicos e teoria  dos números.
-<WRAP  round box 30%>
-Representação decimal
-</WRAP>
- Sejam $m, n$ dois números inteiros e vamos representar $\frac{m}{n}$ de forma decimal. Para isto dividimos $m$ por $n$. Se $n$ dividir o $m$, então não teremos resto na divisão e terminamos. Se não, teremos um resto na divisão de $m$ por $n$ que é menor do que $n$ e maior do que zero. multiplicamos este resto por 10 e novamente dividimos por $n$ e teremos novamente um resto.....se o processo parar, então:
-$ m/n = c_0 + c_1/10 + c_2/100 + \cdots + c_k/10^k $ e representamos $ m/n = c_0,c_1c_2c_3\cdots c_k $. O processo pode não parar. Neste caso, já que sempre os restos pertencem aos números $ 0, 1, \cdots, n-1 $ então algum momento teremos repetição e portanto a sequência dos restos é uma sequência pré-períodica (i.e existe $ i_0 >0 $ e $ k < n $ tais que  $ c_{i+k} = c_i $ para todo $ i >  i_0 $ ). Assim realizamos que a representação decimal de qualquer número racional ou é finita ou pré-períodica.
-Exemplo de um número racional (pré-períodico): $ 0,123454545454545454545..... $ ou $ 0,232323232323..... $ (períodico).
-Seguindo este tipo de representação podemos chamar qualquer sequência $ c_0,c_1c_2c_3\cdots$ onde $ c_i  \in \{0,1,...9\} $ como um número real e as sequências que não são pré-períodicas serão os números irracionais!
-Exemplo de um número irracional:
- <WRAP center round tip 60%>
-$ x= 0,121221222122221222221\cdots $ (quantidade de 2 aumenta a cada bloco...)
-</WRAP>
-Sem dúvida @s curios@s devem ficar embaraçad@s para saber por que o $x$ acima é um número!! O que é um número e $ 0,c_1c_2c_3,\cdots $ significa o quê?  CALMA!
-Não vamos se preocupar para responder o que é um número. (começou a primeira vez que tentamos ignorar certos rigores ....<color #ed1c24>isto deve ocorrer com frequência e as vezes até faz bem, como vamos observar nos próximos capítulos</color>).
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-====== Números reais e intervalos: ======
-Vamos entender por que a representação decimal realmente representa um número!
-O que significa $ c_0,c_1c_2\cdots ? $
-Começamos com interpretação geométrica: Vamos fixar um segmento de reta como unidade e o comprimento de todos os possíveis segmentos formam todos os números reais positivos. Assim podemos considerar uma semi-reta (denotamos por $ R^+$) colocando uma das extremidades como 0 (grande invenção este tal de zero!) e assim todos os números podem ser representados como um ponto na semi-reta. Podemos definir relação <, usando a localização dos pontos na semi-reta.
-$ [a,b] = \{x \in R^+ , a \leq x \leq b\} ,  a \leq b $
-$ ]a,b[ = \{x \in R^+ , a < x < b\} ,  a < b $
-$ [a,b[ = \{x \in R^+ , a \leq x < b\} ,  a < b $
-$ ]a,b] = \{x \in R^+ , a < x \leq b\} ,  a < b $
-Definimos um objeto monstruoso:
-$ [a, \infty [  = \{ x , x \geq a\} $
-********
-<color #ed1c24>
-Rigor em campo!</color>
-<WRAP  round tip 60%>
-Propriedade Arquimediana: Dado dois números $ a, b $ existe um inteiro n tal que $ na>b $.
-</WRAP>
-<color #ed1c24>Proposição</color>: Sejam e, C dois números positivos. Então existem $ m, n $ naturais tais que
-$ (1+e)^m > C$  &  $ (1+e)^{-n} < C. $
-----
-Demonstração: Se expandirmos $ (1+e)^m = 1+me + $ (algo positivo) e pela propriedade Arquimediana existe m tal que $ me > C $ e portanto $ (1+e)^m > C. $ Tente mostrar a existência do n agora.
-<WRAP center round tip 60%>
-Corolário1: Para todo número $ C >0 $, existem $ m, n $ tais que $ 10^m > C $ e $ 10^{-n}< C. $
-</WRAP>
-<WRAP center round tip 60%>
-Corolário 2: Se $ C \neq D $ então existe número inteiro $N$ tal que
-$ 10^{-N} < |C -D| $
-</WRAP>
-Dado um inteiro n, a expressão finita $ C_n = c_0,c_1,\cdots c_n $ faz sentido, não é?
-Agora vamos observar que se aquele monstro $ c_0,c_1c_2\cdots $ for um número, ele deve ser maior de que $ C_n $. Ah, e tem que ser menor do que $ C_n + \frac{1}{10^n} $ (por quê? Pense!) Portanto conseguimos enjaular o monstro!! Seja qual for, está entre
-$ C_n $ e $ C_n + \frac{1}{10^n} $. Pelos comentários acima observem que
-$ C_0 \leq C_1 \leq C_2,... $ e $ C_0 +1 \geq C_1 + 1/10 \geq C_2 + 1/100 $
-o seja teremos <color #ed1c24>intervalos encaixados</color> :  $ [C_i, C_i + \frac{1}{10^i}] $
-{{:encaixa-e1583080274498.png?800|}}
-A partir deste momento precisamos de um Axioma de completude (coisa que não se discute) e concluir que existe único número que está em todos os intervalos encaixados acima e assim achamos o monstro!
-Observação : Se $ [a_n, b_n]$ é uma sequência de intervalos encaixados. Em princípio poderá haver mais do que um número que pertença a todos os intervalos. Tenta construir um exemplo.
-====== Monstros Fake! (São mansos!)
- ======
-sabe quem é o monstro 0,999999.....? Ele é o velho amigo número inteiro 1.
-pois, para todo n inteiro, usando soma das progressões aritméticas  $  0,9999...9 $ (n vezes o 9) $ = 1 - \frac{1}{10^n} $
-$ 0,9999...9 $ (n vezes) $ \leq 0,99999.... \leq 0,9999...9 $ (n 9,s) $ + \frac{1}{10^n} = 1. $
-o número 1 também satisfaz ambas as desigualdades acima e portanto pela unicidade (Axioma) teremos que o monstro é igual a 1.
-====== Limite superior ======
-Dado um conjunto dos números reais $ S  $ dizemos que $ S $  é limitado superiormente se existir um número real M tal que $ M \geq x $ para todo $ x $ em $ S $.
-Vamos a uma noção sofisticada chamada menor limite superior de um conjunto, ou supremo de um conjunto. Dado um conjunto $ S $, se $ S $ não for limitado então não tem supremo. Se for limitado então um número M é chamado de supremo se
-$ S $ é limitado superiormente por M
-Para qualquer número real N, se $ S $  é limitado superiormente por N , então $ M \leq N.  $
-Axioma de completude (outra forma): Se um subconjunto é limitado superiormente então tem um supremo.
-Exemplos: o supremo do conjunto $ [2,3[ $ é igual a 3. e o conjunto dos números inteiros não é limitado superiormente.
-qual é o Supremo do conjunto $ \{x:  x \in \mathbb{Q}, x^2 < 2 \} $?
-ou supremo do conjunto $ \{\frac{(-1)^n}{n}, n \in \mathbb{Z}, n \neq 0 \} $.