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calculo1:rumo

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 Usando este teorema o erro de aproximação linear de  $ \sqrt{101} \sim 10,05  $ é igual a  $ \frac{1}{2} \frac{-1}{4 \sqrt{c^3}} (101-100)^2 = \frac{-1}{4\sqrt{c^3}}   $ Usando este teorema o erro de aproximação linear de  $ \sqrt{101} \sim 10,05  $ é igual a  $ \frac{1}{2} \frac{-1}{4 \sqrt{c^3}} (101-100)^2 = \frac{-1}{4\sqrt{c^3}}   $
  
-Novamente sabendo que  $ c > 100  $ concluímos que o valor absoluto do erro é menor do que  $ \frac{1}{4000}  $.+Novamente sabendo que  $ c > 100  $ concluímos que o valor absoluto do erro é menor do que  $ \frac{1}{8000}  $.
  
  
 Para demonstrar o Teorema, vamos provar uma adaptação de Teorema de Rolle para segunda derivada e também uma adaptação do TVM para segunda derivada. Para demonstrar o Teorema, vamos provar uma adaptação de Teorema de Rolle para segunda derivada e também uma adaptação do TVM para segunda derivada.
  
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 Teorema de Rolle adaptado: Seja  $ f: I \rightarrow \mathbb{R}  $ uma função duas vezes diferenciável e  $ a < b \in I  $ tal que  $ f(a)=f(b)=f^{'}(a)=0.  $ Então existe  $ c \in (a, b)  $ tal que  $ f^{''}(c)=0.  $ Teorema de Rolle adaptado: Seja  $ f: I \rightarrow \mathbb{R}  $ uma função duas vezes diferenciável e  $ a < b \in I  $ tal que  $ f(a)=f(b)=f^{'}(a)=0.  $ Então existe  $ c \in (a, b)  $ tal que  $ f^{''}(c)=0.  $
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 Demonstração: apenas aplicando duas vezes teorema de Rolle usual: Primeiramente achamos  $ c_1 \in (a,b)  $ tal que  $ f^{'}(c_1)=0  $ e agora novamente aplicando teorema de Rolle para função  $ f^{'}  $, sendo que  $ f^{'}(a)=f^{'}(c_1)=0  $ concluímos que existe  $ c \in (a, c_1)  $ tal que  $ f^{''}(c)=0.  $ Demonstração: apenas aplicando duas vezes teorema de Rolle usual: Primeiramente achamos  $ c_1 \in (a,b)  $ tal que  $ f^{'}(c_1)=0  $ e agora novamente aplicando teorema de Rolle para função  $ f^{'}  $, sendo que  $ f^{'}(a)=f^{'}(c_1)=0  $ concluímos que existe  $ c \in (a, c_1)  $ tal que  $ f^{''}(c)=0.  $
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 Teorema do valor médio adaptado para segunda derivada: Teorema do valor médio adaptado para segunda derivada:
  
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  $ f(b) - (f(a)+ f^{'}(a)(b-a)) = \frac{1}{2}f^{''}(c) (b-a)^2.  $  $ f(b) - (f(a)+ f^{'}(a)(b-a)) = \frac{1}{2}f^{''}(c) (b-a)^2.  $
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 Demonstração, usando Teorema de Rolle adaptado: Demonstração, usando Teorema de Rolle adaptado:
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 Observe que se acharmos tal  $ \phi  $ então se definirmos uma nova função  $ g= f - \phi  $ temos Observe que se acharmos tal  $ \phi  $ então se definirmos uma nova função  $ g= f - \phi  $ temos
  
- $ g{a}=g(b)=g^{'}(a)=0.  $+ $ g(a)=g(b)=g^{'}(a)=0.  $
  
-A demosntração da afirmação sobre existência de uma função como  $ \phi  $ é um exercício ao cargo de leitor. Mostrem que existe+A demonstração da afirmação sobre existência de uma função como  $ \phi  $ é um exercício ao cargo de leitor. Mostrem que existe
  
  $ \phi(x) = A + B(x-a) + C(x-a)^2  $ onde  $ \phi(x) = A + B(x-a) + C(x-a)^2  $ onde
calculo1/rumo.1645814195.txt.gz · Last modified: 2022/02/25 15:36 by 127.0.0.1