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-Vamos provar regra de Leibniz.
-Definimos transformações bilineares: $\beta: V \times W \rightarrow Z$ é uma transformação bilinear ($V, W, Z$ espaços vetoriais) se
-  * Fixado $v \in V$ a transformação $\beta (v, .) : W \rightarrow Z$ é linear,
-  * Fixado $w \in W$ a transformação $\beta (., w) : V \rightarrow Z$ é linear.
-Definimos a norma também de forma similar: $$ \|\beta\| := \sup \{ \frac{|T(v, w)|}{|v|.|w|}, v ,w \neq 0\}.$$
-Podemos associar a $\beta$ uma transformação linear $T_{\beta} : V \rightarrow \mathcal{L}(W, Z)$ onde $\mathcal{L}(W, Z)$ é o espaço de todas as transformações lineares de $W$ em $Z$.
-Teorema: Seja $\beta: \mathbb{R}^k \times \mathbb{R}^l \rightarrow \mathbb{R}^m$ uma transformação bilinear e $f: U \subset \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^k$ e $g: U \subset \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^l$ funções diferenciáveis em $p \in U$. então $x \rightarrow \beta(f(x), g(x))$ é diferenciável em $p$ e
-$$
- D\beta (f, g)_p (v) = \beta (Df_p(v), g(p)) + \beta(f(p), Dg_p(v)).
-$$
-Como corolário imediato: Se $f, g : U \subset \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^k$ diferenciáveis então
-$$
- D(f . g) = Df. g + f . Dg
-$$
-onde $.$ representa produto interno em $\mathbb{R}^k$.
-{{youtube>JoizXFOdowY?small}}
-Derivada da Função: $Inv: Gl(n, \mathbb{R}) \rightarrow Gl(n, \mathbb{R}) $ definida como $Inv(A)=A^{-1}.$ Provamos que
-$$
- D Inv_{A}(X) = - A^{-1} X A^{-1}.
-$$
-{{youtube>h2dxK00ilyA?small}}