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-====== Ainda calcular limites, assíntotas ======
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-===== Uma humilhação dos computadores =====
-</WRAP>
-Na aula anterior mostramos que $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{1-cos(x)}{x^2} = \frac{1}{2}.$ Claro que todos adoramos os computadores e calculadoras maravilhosas. Porém veja:
-  * $\frac{1-cos(0,1)}{0,01} \sim 0,499583472197$
-  * $\frac{1-cos(0,01)}{0,0001} \sim 0,4999995833347$
-  * $\frac{1-cos(0,001)}{0,000001} \sim 0,499999958333$
-  * ...
-porém na aula (com um computador velinhos) a partir de um certo número de vezes a resposta era zero. Isto provavelmente $cos(0,00000\cdots 1)$ é quase igual a um e subtraindo de um, resulta zero e assim dividindo por $x^2= (0,00000\cdots)^2$ dá zero!
-<WRAP center round tip 60%>
-Aí, mostramos que a pacência de quem faz cálculo é infinitamente maior do que de um computador e isto vale a pena!
-</WRAP>
-Na aula anterior também mostramos que o seguinte limite não existe:
-$  \lim_{x \rightarrow 0} sen(\frac{1}{x})  $
-Apesar do que o limite acima não existe, a função $  f(x) = sen(\frac{1}{x})  $ é limitada, $  |f(x)| \leq 1, x \in D(f).  $ Usando este fato podemos concluir  seguinte:
-$  \lim_{x \rightarrow 0} x sen(\frac{1}{x}) = 0.  $
-Vamos enunciar um resultado que em particular implica a afirmação acima.
-<WRAP  round box >
-<color #7092be>**Proposição**</color>: Sejam $  f, g: S \rightarrow \mathbb{R}  $ duas funções e $  a  $ um ponto limite de $  S.  $ Suponhamos que $  \lim_{x \rightarrow a} f(x) =0  $ e $  g  $ limitada, i.e, existe $  M \geq 0  $   tal que $  |g(x)| \leq M , x \in S  $. Então
-$  \lim_{x \rightarrow a} (f.g)(x) = 0.  $
-</WRAP>
-Demonstracão: Seja $  \epsilon > 0  $  qualquer. Já que $  \lim_{x \rightarrow a} f(x) =0  $ concluímos que existe $  \delta> 0  $ tal que
-se $  x \in S, 0 < |x-a|< \delta  $ então $  |f(x) - 0| \leq \frac{\epsilon}{M}.  $
-Portanto $  |f(x)g(x)| \leq \frac{\epsilon}{M} \times M = \epsilon.  $
-Reflita um pouco na demonstração da proposição anterior. Observe a importância de número zero na hipótese $  \lim_{x \rightarrow a} f(x)=0.    .$ De fato se este último limite não fosse zero, não poderiamos concluir a tese da proposição. Dê um exemplo!
-<WRAP  round box 60%>
-Limites Laterais
-</WRAP>
-Tratando problemas concretos de aplicação do cálculo em alguns problemas de física ou engenharia, podemos encontrar funções que não tem limite porém possuem limites laterais!
-Suponhamos que $  f: S \rightarrow \mathbb{R}  $ uma função dada e $  a \in \mathbb{R}  $ . Consideramos dois seguintes conjuntos:
-. $  S^{-} = \{ x \in S : x < a \}   $
-.  $  S^{+} = \{ x \in S : x >a\}  $
-Se $  a  $ for um ponto limite de $  S^{-}  $ (respectivamente $  S^{+}  $) então podemos definir
-$  \lim_{x \rightarrow a^{-}} f(x)  $ ( respectivamente $  \lim_{x \rightarrow a^{+}} f(x)  $  )
-Exemplo:
-Seja $  f(x) = [x]$ onde $  [x]$ representa a parte inteira do $  x$, i.e o maior número interio que é menor ou igual a $  x.$ Por exemplo $  [2,1] =2$ e $  [-2,1] = -3.$
-Vamos caclular $  \lim_{x \rightarrow 0^+} f(x)  $ e $  \lim_{x \rightarrow 0^-} f(x)  $.
-Observe que quando $  x < 0 $ está "próximo" a $  0$ então $  f(x) = -1  $. Na verdade se $  -1 \leq x < 0    $   então $  f(x) = -1.   $ Portanto
-$  \lim_{x \rightarrow 0^-} f(x) = -1.  $
-Escrevendo rigorosamente:
-Para todo $  \epsilon > 0  $ existe $  \delta > 0  $ tal que se
-$  0 < 0-x \leq \delta  $ então  $  |f(x) - (-1)| \leq \epsilon  $.
-De fato dado qualquer $  \epsilon  $ basta escolher $  \delta= \frac{1}{2}  $.
-Agora verifiquemm que $  \lim_{x \rightarrow 0^+} f(x) = 0  $.
-Limites no infinito:
-O que significa $  \lim_{x \rightarrow +\infty} f(x) ?  $
-Para falar do limite acima, estamos considerando $  + \infty  $ como um "ponto limite" do domínio da função. De fato basta que exista uma sequência $  a_n \in D(f) $ tal que  $  \lim_{n \rightarrow \infty} a_n = + \infty  $
-Escrevemos  $  \lim_{x \rightarrow + \infty} f(x) = L  $   se para qualquer $  \epsilon > 0  $ existe $  M  $ tal que
-Para qualquer $  x \geq M  $ no domínio da função temos $  |f(x) - L| \leq \epsilon .  $
-Exercício: O que significa $  \lim_{x \rightarrow - \infty} f(x) = L  $?
-Exercício: Interpreta $  \lim_{x \rightarrow a^+} f(x) = - \infty .  $
-Exercício: Dê exemplo de uma função que $  \lim_{x \rightarrow - \infty} f(x) = + \infty  $  (basta considerar $  f(x) = -x  $
-===== Assíntotas: =====
-Assíntota vertical: Dizemos que uma função tem assíntota vertical $  x=a  $  se ocorrer pelo menos uma das seguintes condições:
-$  \lim_{x \rightarrow a^+} = \pm \infty  $ (o limite é infinito positivo ou infinito negativo)
-$  \lim_{x \rightarrow a^-} = \pm \infty  $
-Exemplo:
-$  f(x) = \frac{x+2}{x^2+2x-3}  $
-observe que neste exemplo as raízes de denominadora da regra da função são $  1, -3  $:
-$  \lim_{x \rightarrow 1^-} f(x) = -\infty  $ e
-$  \lim_{x \rightarrow 1^+} f(x) = +\infty  $
-verifique os limites laterais em $  -3  $
-{{ :assintota1.png?300 |}}
-Assíntota horizontal:
-Dizemos que uma função tem assíntota horizontal $  y=a  $ se ocorrer pelo menos uma das seguintes condições:
-$  \lim_{x \rightarrow + \infty} f(x) = a  $
-$  \lim_{x \rightarrow - \infty} f(x) = a  $
-Vejam exemplo abaixo: $  f(x) = \frac{sen(x)}{x}   $. Podemos verificar que $  \lim_{x \rightarrow \infty} f(x) = 0  $ (ambos os limites no $  \pm \infty  $ é igual a zero.)
-Observe que a função não está definida no ponto $  x=0  $ porém já que
-$  \lim_{x \rightarrow 0} f(x) = 1  $ podemos extender a função no zero (foi isto que geogebra fez quando esbocou o gráfico para mim!)
-{{ :horizontal1.png?300 |}}
-o exemplo a seguir quase é a mesma função: $  f(x) = \frac{sen(16x)}{x}  $
-Reflita um pouco sobre diferença e semelhança entre essas duas funções!
-{{ :horizontal2.png?350 |}}
-Assíntota oblíqua:
-Dizemos que uma função tem assíntota oblíqua $   y = ax+b,   a \neq 0  $  se ocorrer pelo menos uma das seguintes condições:
-$  \lim_{x \rightarrow + \infty} f(x) - (ax+b) = 0  $
-$  \lim_{x \rightarrow - \infty} f(x) - (ax+b) = 0  $
-Observe que se uma função possuir assíntota oblíquo então pelo menos uma das seguintes deve ocorrer:
-$  \lim_{x \rightarrow + \infty} f(x) = + \infty  $
-$  \lim_{x \rightarrow + \infty} f(x) = - \infty  $
-$  \lim_{x \rightarrow - \infty} f(x) = + \infty  $
-$  \lim_{x \rightarrow - \infty} f(x) = - \infty  $
-Em seguida calculamos $  \lim_{x \rightarrow} \frac{f(x)}{x} = a  $ e
-$  b = \lim_{x \rightarrow \infty} f(x)-mx   $
-Exemplo : Considere $  f(x) = \frac{x^2 + x}{x}  $ e verifique que $  y=x  $ é uma assíntota olblíqua.
-{{ :obliquo.png?300 |}}
-Non-example: verifiquem que a função $  f(x) = x^2  $ não tem nenhuma assíntora.  $  \lim_{x \rightarrow \infty f(x) = \infty} $, porém nenhuma reta pode beijar o gráfico desta função no infinito!
-{{ :no.png?300 |}}
-Exercício: Calcule seguintes limites, se existem.
-$  \lim_{x \rightarrow 0^+} ( \frac{1}{x} - [ \frac{1}{x} ] ) $
-$  \lim_{x \rightarrow 0^+} (1 - x [ \frac{1}{x} ]) $
-$  \lim_{x \rightarrow 0^+} \frac{[x]}{x}$
-O último limite acima esclarece por que as vezes falamos que escrever $  \frac{0}{0}  $ é indecente! Observe que quando $  \lim_{x \rightarrow 0^+} [x] = 0  $ e $  \lim_{x \rightarrow 0^+} x =0  $. Certo?
-Sim, porém a função de numerador não apenas tende ao zero. Ela é igual a zero, para $  0 < x < 1  $. Portanto para tais valores de $  x  $ temos $  \frac{[x]}{x} = 0  $ e concluímos que o limite desejado é zero.
-Agora tenta analisar $  \lim_{x \rightarrow 0^-} \frac{[x]}{x}  $.