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-Nesta seção vamos discutir a aproximação de funções por funções lineares.
-Sejam  $ f,g : S \rightarrow \mathbb{R}   $ duas funções e  $ x_0   $ um ponto do interior de  $ S    $. Dizemos que  $ f   $ e  $ g   $ são tangentes no ponto  $ x_0   $ se
- $ f(x_0) = g(x_0)   $
- $ \lim_{x \rightarrow x_0} \frac{f(x)-g(x)}{x-x_0} =0.   $
-A primeira condição quer dizer que os gráficos das funções  $ f, g   $ passam do mesmo ponto    $ (x_0, f(x_0)) = (x_0, g(x_0))   $.
-A segunda condição distingue a tangência das funções da mera interseção de seus gráficos.  Observe que  $ |f(x_0) - g(x_0)|   $ representa a distância vertical entre os dois gráficos no ponto  $ x_0   $ e assim a segunda condição exige que essa distância dividida por  $ |x - x_0|   $ (que também converge à zero) convirja à zero, quando  $ x   $ tende à  $ x_0.   $
-Exemplo
-Considere duas funções  $ f(x) = x^2 + |x|, g(x) = |x|.   $ Observe que  $ f(0)= g(0) = 0.   $
-Vamos verificar a segunda condição de tangência das duas funções:
- $ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-g(x)}{x} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{x^2}{x} =0.   $
-Portanto essas duas funções são tangentes no ponto  $ x=0.   $
-É importante ressaltar que nenhuma delas é diferenciável no ponto  $ x=0.   $
-Porém se as funções forem diferenciáveis a condição de tangência (condição 2) é a mesma que  $ f^{'}(x_0)=g^{'}(x_0).   $
-Por efeito,  (usando o fato de que  $ f(x_0)=g(x_0)   $)
- $ \lim_{x \rightarrow x_0} \frac{f(x)-g(x)}{x- x_0} = \lim_{x \rightarrow x_0} \frac{f(x) - f(x_0) + g(x_0) - g(x)}{x-x_0}   $
- $ = \lim_{x \rightarrow x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x- x_0} - \lim_{x \rightarrow x_0} \frac{g(x)-g(x_0)}{x- x_0} = f^{'}(x_0) - g^{'}(x_0)   $
-e portanto a condição (2) é mesma que  $ f^{'}(x_0) = g^{'}(x_0).   $
-De fato podemos mostrar que se uma das funções (tangentes entre se) for diferenciável então a outra também deve ser e as derivadas coincidem.
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-Reta Tangente ao gráfico de uma função:
-Dado  $ x_0,  $ no interior do domínio da função  $ f   $, se a função for diferenciável no ponto  $ x_0   $ e  $ f^{'}(x_0)= m   $ então a reta com equação:
- $ y = f(x_0) + m (x-x_0)   $
-é a única reta que é tangente ao gráfico da  $ f   $ no ponto  $ (x_0, f(x_0))   $ com a definição dada acima sobre tangência de duas curvas (gráfico da  $ f   $ e a reta considerada como gráfico da função  $ g(x)= f(x_0) + m(x-x_0)   $.
-Para verificar, vamos calcular observamos seguintes cálculos:
- $ \lim_{x \rightarrow x_0} \frac{f(x) - g(x)}{x-x_0} = \frac{f(x) - (f(x_0) + m(x-x_0))}{x-x_0}   $
- $ = \lim_{x \rightarrow x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}-m=0   $.
-Chamamos a função afim  $ g    $ de aproximação linear de  $ f   $ no ponto  $ x_0   $. Ou seja a função  $ g   $ é a função "mais próxima" à função  $ f   $ no ponto  $ x_0.   $
-Uma outra forma de escrever a aproximação linear é como a seguir:
-Denotamos por
- $ E(h):= f(x_o + h) - (f(x_0) + f^{'}(x_0) h) = f(x_0+h) - g(x_0 + h)    $
-o resto da subtração da  $ f   $ da sua aproximação num ponto  $ x_0 + h   $, Então pela definição da derivada temos  $ \lim_{h \rightarrow 0}  \frac{E(h)}{h} = 0.   $
-ou seja temos seguinte relação:
- $ f(x_0 + h) = f(x_0) + h f^{'}(x_0) + E(h)   $  tal que  $ R(h) = \frac{E(h)}{h} \rightarrow 0   $ quando  $ h \rightarrow 0.   $
-Proposição (Ter derivada implica continuidade): Se  $ f   $ é diferenciável no ponto  $ a   $, então é contínua nest eponto.
-Demonstração: Suponhamos que  $ f   $ é diferenciável no ponto  $ a   $. Para demonstrar a continuidade precisamos provar que  $ \lim_{h \rightarrow 0} f(a+h) = f(a).   $
-Pela formula de aproximação linear temos
- $ f(a+h) = f(a) + h f^{'}(a) + E(h)   $
-e observe que  $ \lim_{h \rightarrow 0} h f^{'}(a) = \lim_{h \rightarrow 0} E(h) = 0.   $ e portanto  $ \lim_{h \rightarrow 0} f(a+h) = f(a).   $
-Lembramos que a continuidade não implica diferenciabilidade. O exemplo da função  $ |x|   $ é um bom exemplo. Vamos dar outro exemplo:
-Considere a função  $ f(x)= x sen(\frac{1}{x}), x \neq 0, f(0)=0.   $ Já  temos provado que essa função é contínua no ponto  $ x=0.   $ Entretanto vamos verificar que não é diferenciável neste ponto:
- $ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-f(0)}{x} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{xsen(\frac{1}{x})}{x} = \lim_{x \rightarrow 0} sen(\frac{1}{x})   $
-e o limite acima não existe. Portanto a função não é diferenciável no ponto  $ x=0.   $
-Observe que essa função no ponto zero tem infinitas oscilações, porém é contínua. Entretanto a altura das oscilações fazem com que a função não seja diferenciável.
-Quer ver um exemplo mais legal ainda?
-Exercício: Considere  $ f(x)= x^2 sen(\frac{1}{x}).   $ Mostre que essa função é diferenciável no ponto  $ x=0   $ e que  $ f^{'}(0)=0.   $