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 Na demonstração do teorema abaixo usamos também: $\|s_N (s)\|_2 \leq \|f\|_2$. Lembrando que $\|f\|_2 = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} (\int_{-\pi}^{\pi} |f(x)|^2)^{1/2} dx$
 <WRAP  round tip 60%>
-Teorema de Parseval
+Teorema de Parseval (Uma generalização do Teorema de Pitágoras)
 </WRAP>
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 \|f - S_N f\| \leq \|f - g\|  + \|g - S_N g \| + \|S_N g - S_N f \|
 $$
-o último termos $\|S_N g - S_N f \| = \|S_N (g -f) \| \leq \|g -f\| \leq \epsilon/3.$
+o último termos $\|S_N g - S_N f \| = \|S_N (g -f) \| \leq \|g -f\| \leq \epsilon/3.$ A primeira igualdade decorre da definição da $S_N$ e portanto é linear. A desigualdade foi mencionada acima (logo antes do enunciar o teorema). Essa desigualdade em termos de operadores significa que a norma de $S_N$ é menor do que um.
+Comentário sobre  Parseval e normas: Se considerarmos Serie de Fourier em formato real, i.e $\frac{a_0}{2} + \sum_{k=1}^{\infty} a_k cos(kx) + b_k sen(kx)$ para uma função de periodo $2 \pi$ então  precisamos considerar seguinte produto interno
+$$
+ <f, g> = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) g(x) dx
+$$
+e assim o conjunto $\{cos(kx), sen(kx), k \in \mathbb{N}\}$ forma um conjunto ortonormal. Observe que nesta norma
+$\|f\| = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x)^2 dx.$
+Podemos verificar que se a função for de periodo $L =2l$ então podemos considerar seguinte série de Fourier
+$$
+ \frac{a_0}{2} + \sum_{k=1}^{\infty} a_k cos(k\pi x/l) + b_k sen(k\pi x/l)
+$$
+e o produto interno $<f, g> = \frac{1}{l} \int_{-l}^{l} f(x) g(x) dx$ e neste produto o conjunto $\{cos(k\pi x/l), sen(k\pi x/l) , k \in \mathbb{N}\}$ é um conjunto ortonormal.