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--- analise2:simpsons [2022/05/25 16:00] – tahzibi
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 Na demonstração do teorema abaixo usamos também: $\|s_N (s)\|_2 \leq \|f\|_2$. Lembrando que $\|f\|_2 = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} (\int_{-\pi}^{\pi} |f(x)|^2)^{1/2} dx$
 <WRAP  round tip 60%>
-Teorema de Parseval
+Teorema de Parseval (Uma generalização do Teorema de Pitágoras)
 </WRAP>
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 Isto é para qualquer $\epsilon > 0$ existe uma função de tipo $P:= \sum_{n=-N_0}^{N_0} d_m e^{inx}$ tal que $\| f- P\|_2 \leq \epsilon.$ Pelo resultado anterior, para qualquer $N \geq N_0$
 $$
- \| f - S_{N}f\| \leq \| f - P\| \leq \epsilon.
+ \| f - S_{N}f\| \leq \| f - P\| \leq \epsilon/3 .
 $$
 Por efeito, $P$ pode ser completado $P:= \sum_{n=-N}^{N} d_m e^{inx}$ apenas considerando $d_m = 0, |m| > N_0.$
-Agora observe que
+Para completar a demonstração do teorema de Parseval, precismaos mostrar que dado uma função $f$ Riemann integrável, existe uma função contínua $g$ tal que $\|f-g\|_2 \leq \epsilon.$ (Exercício!) Assim podemos concluir que
 $$
- \|S_N f - f \|_2 \leq \|S_N f - S_N P\|_2 + \|S_N P - f\|_2 = \|S_N(f-P)\|_2 + \|S_N P - f\|_2
+\|f - S_N f\| \leq \|f - g\|  + \|g - S_N g \| + \|S_N g - S_N f \|
 $$
+o último termos $\|S_N g - S_N f \| = \|S_N (g -f) \| \leq \|g -f\| \leq \epsilon/3.$ A primeira igualdade decorre da definição da $S_N$ e portanto é linear. A desigualdade foi mencionada acima (logo antes do enunciar o teorema). Essa desigualdade em termos de operadores significa que a norma de $S_N$ é menor do que um.
+Comentário sobre  Parseval e normas: Se considerarmos Serie de Fourier em formato real, i.e $\frac{a_0}{2} + \sum_{k=1}^{\infty} a_k cos(kx) + b_k sen(kx)$ para uma função de periodo $2 \pi$ então  precisamos considerar seguinte produto interno
+$$
+ <f, g> = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) g(x) dx
+$$
+e assim o conjunto $\{cos(kx), sen(kx), k \in \mathbb{N}\}$ forma um conjunto ortonormal. Observe que nesta norma
+$\|f\| = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x)^2 dx.$
-e finalmente $\|s_N (f- P)\|_2 \leq \|f-P\|_2 \leq \epsilon$
+Podemos verificar que se a função for de periodo $L =2l$ então podemos considerar seguinte série de Fourier
+$$
+ \frac{a_0}{2} + \sum_{k=1}^{\infty} a_k cos(k\pi x/l) + b_k sen(k\pi x/l)
+$$
+e o produto interno $<f, g> = \frac{1}{l} \int_{-l}^{l} f(x) g(x) dx$ e neste produto o conjunto $\{cos(k\pi x/l), sen(k\pi x/l) , k \in \mathbb{N}\}$ é um conjunto ortonormal.