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-Vamos dar dois exemplos onde naturalmente encontramos a função exponencial. A função exponencial satisfaz a seguinte propriedade:
-$  f(x+y)= f(x) f(y)$
-Depois mostraremos que toda função contínua que satisfaz a condição acima é de fato uma função exponencial.
-Decaimento radioatívo:
-Elementos radioativos transformam em outros elementos ao longo do tempo. É importante saber a quantidade que permanece (não transformou) após um determinado tempo $  t  $.
-Suponhamos $  M(t)  $ representar a fração da materia (de uma unidade de massa) que sobra após passar o tempo $  t  $. Vamos assumir que $  M(t)  $ é uma função contínua de $  t  $ e $  M(0)=1,   0 < M(t) < 1  $ para todo $  t > 0  $.
-Se iniciarmos com $  A  $ unidades de massa, ficaremos com $  AM(t)  $ de material radioativo inicial depois de tempo $  t  $.
-Qual será a quantidade de material após tempo $  s+t  $? Vamos calcular de duas formas diferentes:
-Primeiramente  pela definição a quantidade sobrada é é $  AM(s+t)  $. Por outro laso após o tempo $  s  $ a quantidade é $  AM(s)  $ e em seguida vamos calcular a quantidade da materia quando passa tempo $  t  $ e chegaresmo ao valor $  AM(s)M(t)  $. Portanto:
-$  M(s+t)=M(s)M(t)  $       (1)
-Observe que $  M(x) < 1  $ para todo $  x >0  $ e portanto concluimos que
-$  \lim_{x \rightarrow 0} M(x) =0  $ (verifique isto!)
-Sabemos que $  M(0)=1  $ e portanto pelo teorema do valor intermediário concluímos que existe $  h>0  $ tal que $  M(h) = \frac{1}{2}  $.
-Observe que usando (1) concluímos que $  M(t+h)=\frac{1}{2}M(t)  $. Isto significa que começando em qualquer tempo $  t  $, após passar tempo $  h  $ a quantidade de materia é dividida por dois. Este tempo é chamado de meia vida.
-Por exemplo a meia vida de carbono-14 é de 5730 anos.
-Crescimento de bactérias:
-Suponhamos que $  P(t)  $ é o tamanho da população bacteriana (começando no tempo zero por um abacteria) no tempo $  t  $.
-Assumimos que $  P  $é uma função contínua e $  P(0)=1  $ e $  P(t)> 1  $ para todo $  t>0.  $
-Se fornecemos nutriente e as bacterias não competirem entre se e tivermos espaço suficiente para crescimento das bacterias. É razoável esperar que nestas circunstâncias a população da colonia é proporcional a população inicial, ou seja
-tamanho da população no tempo $  t = A P(t)  $ onde $  A  $ é o tamanho inicial.
-Argumentando similar ao caso de decaimento radioatívo concluímos
-$  P(s+t) = P(t)P(s).  $ (2)
-Já que $  P(t) > 1  $ para $  t > 0  $ podemos usar a relação (2) e concluir que $  \lim_{x \rightarrow \infty} P(x) = \infty  $ e pelo teorema do valor intermedíario deve existir $  d  $ tal que $  P(d)=2.  $ Novamente usando a relação (2) concluímos que para qualquer $  t  $ temos:
-$  P(t+d) = 2P(t)  $
-ou seja $  d  $ é o tempo de dobra!
-*****************
-Casamento de Álgebra e Análise:
-Vamos mostrar que toda função contínua $  f  $ satisfazendo:
-$  f(x+y)=f(x)f(y) , a=f(1)>0  $
-deve ser uma função exponencial, $  f(x)=a^x.  $
-Para começar vamos substituir $  x=y  $ na equação (2). Portanto
-$  f(2x)= f(x)f(x) = f(x)^2  $
-Agora se colocarmos $  y=2x  $ na equação (2) concluímos
-$  f(3x)=f(2x+x) = f(2x) f(x) = f(x)^2 f(x)=f(x)^3  $ e continuando desta forma podemos provar que para todo $  x  $:
-$  f(nx)=f(x)^n  $ (3)
-Se $  x=1  $ a equação (3) implica que $  f(n) = f(1)^n = a^n  $.
-Agora se colocarmos $  x=\frac{1}{n}  $ na equação (3) temos $  f(1) = f(\frac{1}{n})^n  $ e portanto $  f(\frac{1}{n}) = a^{1/n}.  $
-Agora considere $  x=\frac{1}{m}  $ na equação (3). Logo
-$  f(\frac{n}{m}) = a^{n/m}  $. Até agora temos provado que para qualquer número racional $  r >0  $ vale $  f(r) = a^r.  $
-Já que $  f  $ é uma função contínua, para todo número irracional $  \alpha >0  $ também temos $  f(\alpha) = a^{\alpha}  $
-É um exercício provar $  f(x) = a^x  $ para $  x <0  $ também.
-Exponencial é mais forte de qualquer polinomial!
-Teorema: Para qualquer $  a > 1  $ a função $  a^x  $ cresce mais rápido de que qualquer $  x^k  $ quando $  x  $ tende ao infinito, $  k=0, 1,2,3, \cdots  $. Isto siginifica que para qualquer $  k \in \mathbb{N}  $:
-$  \lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{a^x}{x^k} = +\infty  $ ou equivalentemente
-$  \lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{x^k}{a^x} = 0  $
-****************
-O caso mais simples é quando $  k=0  $. De fato para isto basta provar que $  \lim_{x \rightarrow +\infty} a^x = +\infty.  $
-Caso $  k= 1 $: Definimos $  f(x) = \frac{a^x}{x}  $ e temos:
-$  f(x+1) = \frac{a^{x+1}}{x+1} = \frac{a^x}{x} \frac{a}{1+\frac{1}{x}}   $  (4)
-Afirmamos que para $  x  $ grande o suficiente, o fator $  \frac{a}{1+\frac{1}{x}}  $ é maior do que 1. Por efeito, $  a > 1 + \frac{1}{m}  $ para algum número $  m  $. Seja $  b = \frac{a}{1+ \frac{1}{m}}  $. Agora para todo $  x>m  $ temos
-$  \frac{a}{1+\frac{1}{x}} \geq \frac{a}{1+ \frac{1}{m}} = b > 1.  $ Juntando isto com a relação (4) temos:
-$  f(x+1) \geq f(x)b.  $
-$  f(x+2) \geq f(x)b^2   $, ..... $  f(x+n) \geq f(x)b^n  $
-Agora, qualquer número grande $  X  $ pode ser escrito como soma de dois números, um dos quais pertence ao intervalo $  [m, m+1]  $ e o outro é um número inteiro $  n  $.  Denotamos por $  M \neq 0  $ o mínimo da função no intervalo $  [m, m+1]  $. Então:
-$  f(X) = f(x + n) \geq f(x) b^n \geq M b^n  $
-Dado que $  b > 1  $ concluímos que $  f(X) \rightarrow \infty  $ quando $  X \rightarrow \infty  $.
-Caso $  k > 1  $: Precisamos achar $  s  $ tal que $  s^k =a  $ e ai temos:
-$  \frac{a^x}{x^k}=(\frac{s^x}{x})^k    $
-e usamos o caso $  k=1  $ para concluir a demonstração.
-Exemplo Diferente: Calcule $  \lim_{x \rightarrow - \infty} \frac{a^x}{x^5} &s=-1$