Acompanhe um curso inteiro por meio de exercícios aqui.

Você pode procurar por exemplos de espaços topológicos aqui.

Abaixo você pode encontrar todo um curso de topologia.

• Espaço topológico
• Subespaço
• Espaço métrico
• Fechado
• Ponto aderente
• Fecho
• Interior
• Fronteira
• Vizinhança
• Bases
• Densos
• Sequências convergentes
• Sequências de Cauchy
• Espaço métrico completo
• Gráfico de uma função
• Invariantes topológicos
• Topologia gerada
• Topologia da ordem
• Topologia Forte
• Topologia Quociente
• Zero dimensional
• Totalmente limitado

• Espaço \(T_0\)
• Espaço \(T_1\)
• Espaço de Hausdorff
• Espaço regular
• Espaço normal
• Espaço completamente regular

• Primeiro axioma de enumerabilidade
• Bases Enumeráveis
• Separabilidade
• Espaço métrico separável

• Motivação e definição
• Imagem de denso é densa
• Imagem de separável é separável
• Caracterização por sequências
• Extensões contínuas: introdução
• Extensões contínuas: Urysohn e Tietze (Parte I)
• Extensões contínuas: Urysohn e Tietze (Parte II)
• Extensão a partir de sequências convergentes
• Duas funções que coincidem em um denso são iguais?
• Homeomorfismos
• Continuidade limitada a finitos fechados cuja união é o espaço todo
• Continuidade limitada a abertos cuja união é o espaço todo
• Caso particular do Lema de Jones
• Um exercício sobre espaços homogêneos

• Regular $\Rightarrow$ Hausdorff
• Normal $\Rightarrow$ Regular
• Regular enumerável $\Rightarrow$ Normal
• Caracterização do fecho em termos de limites de sequências
• Unicidade de limite em espaços de Hausdorff
• Regular com base enumerável $\Rightarrow$ Normal
• Completamente regular $\Rightarrow$ Regular
• Base enumerável $\Rightarrow$ Bases locais enumeráveis
• Regular enumerável $\Rightarrow$ Zero-dimensional
• Caracterização de $\mathbb{Q}$ por topologia da ordem.
• Caracterização de $\mathbb{R}$ por topologia da ordem.
• "Descer para subespaço" e "tomar a topologia de ordem induzida" não comutam.
• Função contínua (com codomínio de Hausdorff) tem gráfico fechado
• A topologia da caixa no produto de espaços discretos é discreta
• Quando o produto de separáveis é separável?
• Espaços de Hausdorff separam compactos disjuntos
• Espaço de Hausdorff é localmente compacto $\Leftrightarrow$ admite uma compactificação de Alexandroff
• Hausdorff e compacto $\Rightarrow$ localmente compacto
• Hausdorff e localmente compacto $\Rightarrow$ completamente regular
• Toda cobertura aberta de um espaço métrico compacto admite um número de Lebesgue
• Toda função contínua $f: (X,d) \to (Y,d')$ em que $X$ é um espaço métrico tal que toda cobertura admite número de Lebesgue, é uniformemente contínua
• Caracterização da topologia união disjunta usando continuidade
• A união de dois conexos não mutuamente separados é conexa
• Caracterização para os compactos em $\mathbb{R}^n$
• $G_{\delta}$ do produto
• Resultado sobre ordem e conexidade
• Produto finito de conexos é conexo
• Produto arbitrário de conexos é conexo
• Produto de conexos por caminhos é conexo por caminhos
• O plano sem a origem e o círculo unitário são homotopicamente equivalentes
• Um resultado sobre o quadrado de Sorgerfrey e sua generalização
• Caracterização para conjuntos discretos fechados em espaços $T_1$
• Produto de um aberto por um fechado ambos em espaços métricos completos é completamente metrizável
• Todo espaço métrico é paracompacto
• Todo espaço de Haussdorff paracompacto é coletivamente normal
• Caracterização do Conjunto de Cantor a menos de homeomorfismo
• Interseção enumerável de abertos densos em um espaço de Baire é de Baire
• Pontos fixos e espaços Hausdorff
• Stone–Čech não acrescenta somente um ponto
• Hausdorff localmente compacto $\Rightarrow$ Espaço de Baire

• Caso finito
• Motivação, definição geral.
• Propriedades Básicas
• Topologia da Caixa
• Axiomas de enumerabilidade
• Produto de espaços completamente regulares e normais
• Função contínua se, e somente se, cada coordenada é contínua
• Teorema da Imersão
• Topologia fraca induzida pela métrica

• Definição e Lema da Sub-Base de Alexander
• Compacidade e axiomas de separação
• Compacidade e funções contínuas
• Compacidade local
• Teorema de Tychonoff
• Pontos de Acumulação
• Sequencialmente Compactos
• Aplicações
• Caracterização de compactos de $\mathbb{R}$ por funções contínuas
• Caracterização para espaços métricos compactos
• Sequência de abertos em um compacto
• Teorema de Tychonoff via filtros
• O conjunto das funções continuas com suporte compacto é denso no espaço de todas as funções de $ \mathbb{R} $ em $ \mathbb{R} $.

• Conexidade: Intervalos
• Mutuamente separados
• Componentes Conexas
• Conexos por caminho
• Conexidade local
• Aplicações
• Uma condição necessária para que $X \times Y$ seja homeomorfo a $\mathbb{R}$
• Quando cada componente conexa é um conjunto aberto e fechado
• Existe um caminho de x para y
• Não existe um homeomorfismo entre $ B_{r}(x) $ e um intervalo
• Uma curva de $\mathbb{R}^2$ sem auto interseção tem interior vazio
• Teorema da Alfândega: Uma aplicação em $\mathbb{R}^n$

• Definição e resultados básicos
• Espaços homotopicamente equivalentes
• Grupo fundamental
• Espaço de Recobrimento
• Levantando homotopias
• Grupo fundamental da circunferência

• Uma demonstração da existência de infinitos primos usando topologia
• Com enumeráveis buracos, o plano ainda é conexo!
• A união enumerável de conexos um a um não disjuntos é conexa.
• Espaços Completamente Metrizáveis
• Um teorema de metrizabilidade
• Lema de Urysohn
• Todo espaço métrico separável é homeomorfo a um subconjunto de $[0,1]^{\mathbb{N}}$
• Espaços de Baire
• Compactificação de Stone-Čech
• Compactificação de Stone–Čech dos naturais
• Compactificação de Stone-Čech dos racionais
• Um caso interessante sobre funções contínuas e compactificações
• Não é possível compactificar $\mathbb{R}$ adicionando-se três elementos!
• Paracompactos
• Espaços Sequenciais
• Partições da unidade
• O jogo de Banach-Mazur
• O jogo de Banach-Mazur e espaços de Baire
• Estratégia vencedora para o jogo de Banach-Mazur num espaço métrico completo
• Não existe $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^2$ contínua e bijetora
• Não existe funções de Peano Injetora
• Topologia do complementar finito em não-enumerável
• Existem poucos métricos enumeráveis