[Resolução] 10.9.13
Posted: 06 Sep 2022 19:14
Enunciado:
Mostrar que, para \(|x| < 0\), \(\sum_{n = 1}^{\infty}n^3x^n = \frac{x^3 + 4x^2 + x}{(1-x)^4}\) utilizando a série telescópica.
Resolução:
Para resolver o exercício, precisamos saber que a soma \(\sum_{n=1}^{\infty}x^n = \frac{1}{1 - x}\) para \(|x| < 0\). Tal resultado pode ser obtido a partir da manipulação \((1 - x)S_n = (1 - x)\sum_{n=1}^{\infty}x^n = \sum_{n=1}^{\infty}x^n - x^{n+1}\), em que \(S_n\) é o resultado da soma para um dado \(n\). A partir disso, basta utilizar as propriedades da série telescópica para encontrar um valor para \(\sum_{n=1}^{\infty}x^n - x^{n+1}\) e dividir este valor por \((1 - x)\) para encontrar \(S_n\).
Note que se derivarmos \(\sum_{n=1}^{\infty}x^n = \frac{1}{1 - x}\) em ambos os lados, obtemos:
\(\sum_{n=1}^{\infty}nx^{n-1} = \frac{1}{(1-x)^2}\)
Multiplicando a equação por \(x\), temos:
\(\sum_{n=1}^{\infty}nx^{n} = \frac{x}{(1-x)^2}\)
Note que se repetirmos esse mesmo processo (derivar a equação e depois multiplicar tudo por x) mais duas vezes, chegaremos a seguinte equação:
\(\sum_{n=1}^{\infty}n^3x^{n} = \frac{x^3 + 4x^2 + x}{(1-x)^4}\)
Que é exatamente aquilo que procurávamos.
Mostrar que, para \(|x| < 0\), \(\sum_{n = 1}^{\infty}n^3x^n = \frac{x^3 + 4x^2 + x}{(1-x)^4}\) utilizando a série telescópica.
Resolução:
Para resolver o exercício, precisamos saber que a soma \(\sum_{n=1}^{\infty}x^n = \frac{1}{1 - x}\) para \(|x| < 0\). Tal resultado pode ser obtido a partir da manipulação \((1 - x)S_n = (1 - x)\sum_{n=1}^{\infty}x^n = \sum_{n=1}^{\infty}x^n - x^{n+1}\), em que \(S_n\) é o resultado da soma para um dado \(n\). A partir disso, basta utilizar as propriedades da série telescópica para encontrar um valor para \(\sum_{n=1}^{\infty}x^n - x^{n+1}\) e dividir este valor por \((1 - x)\) para encontrar \(S_n\).
Note que se derivarmos \(\sum_{n=1}^{\infty}x^n = \frac{1}{1 - x}\) em ambos os lados, obtemos:
\(\sum_{n=1}^{\infty}nx^{n-1} = \frac{1}{(1-x)^2}\)
Multiplicando a equação por \(x\), temos:
\(\sum_{n=1}^{\infty}nx^{n} = \frac{x}{(1-x)^2}\)
Note que se repetirmos esse mesmo processo (derivar a equação e depois multiplicar tudo por x) mais duas vezes, chegaremos a seguinte equação:
\(\sum_{n=1}^{\infty}n^3x^{n} = \frac{x^3 + 4x^2 + x}{(1-x)^4}\)
Que é exatamente aquilo que procurávamos.