[Resolução] 10.9.13

[nome_bom]

Enunciado:

Mostrar que, para \(|x| < 0\), \(\sum_{n = 1}^{\infty}n^3x^n = \frac{x^3 + 4x^2 + x}{(1-x)^4}\) utilizando a série telescópica.

Resolução:

Para resolver o exercício, precisamos saber que a soma \(\sum_{n=1}^{\infty}x^n = \frac{1}{1 - x}\) para \(|x| < 0\). Tal resultado pode ser obtido a partir da manipulação \((1 - x)S_n = (1 - x)\sum_{n=1}^{\infty}x^n = \sum_{n=1}^{\infty}x^n - x^{n+1}\), em que \(S_n\) é o resultado da soma para um dado \(n\). A partir disso, basta utilizar as propriedades da série telescópica para encontrar um valor para \(\sum_{n=1}^{\infty}x^n - x^{n+1}\) e dividir este valor por \((1 - x)\) para encontrar \(S_n\).

Note que se derivarmos \(\sum_{n=1}^{\infty}x^n = \frac{1}{1 - x}\) em ambos os lados, obtemos:

\(\sum_{n=1}^{\infty}nx^{n-1} = \frac{1}{(1-x)^2}\)

Multiplicando a equação por \(x\), temos:

\(\sum_{n=1}^{\infty}nx^{n} = \frac{x}{(1-x)^2}\)

Note que se repetirmos esse mesmo processo (derivar a equação e depois multiplicar tudo por x) mais duas vezes, chegaremos a seguinte equação:

\(\sum_{n=1}^{\infty}n^3x^{n} = \frac{x^3 + 4x^2 + x}{(1-x)^4}\)

Que é exatamente aquilo que procurávamos.

[ZenaoDeEleia]

Na verdade
\[ \sum_{n = 0}^\infty x^n = 1 + x + x^2 + \cdots + x^n + \cdots = \frac{1}{1 - x} \; \text{.}\]
Enquanto
\[ \sum_{n = 1}^\infty x^n = x + x^2 + x^3 + \cdots + x^n + \cdots = \frac{x}{1 - x} \; \text{.}\]
(Repare nos índices iniciais).

Com exceção desse detalhe, se você aplicar o mesmo processo (derivar e multiplicar por \(x\)) repetidas vezes, chegará ao mesmo resultado.