[Resolução] III.6.2.c
Posted: 04 Dec 2022 19:48
Enunciado:
Calcule a integral abaixo:
\(\int e^{2x}\sin(3x)dx\)
Resolução:
Realizando a integral por partes:
\(u=\sin(3x)\quad du=3\cos(3x)\)
\(dv=e^{2x}\quad v=\frac{e^{2x}}{2}\)
\(\int e^{2x}\sin(3x)dx = \frac{e^{2x}\sin(3x)}{2} - \frac{3}{2} \int e^{2x}\cos(3x)dx\)
Realizando uma nova integral por partes, dessa vez com:
\(u = \cos(3x)\quad du=-3\sin(3x)\)
\(= \frac{e^{2x}\sin(3x)}{2} - \frac{3}{2} \Bigg( \frac{e^{2x}\cos(3x)}{2} + \frac{3}{2} \int e^{2x}\sin(3x)dx \Bigg)\)
\(= \frac{e^{2x}\sin(3x)}{2} - \Bigg( \frac{3e^{2x}\cos(3x)}{4} + \frac{9}{4} \int e^{2x}\sin(3x)dx \Bigg)\)
Igualamos a integral do problema a solução encontrada para subtraí-las:
\(\int e^{2x}\sin(3x)dx = \frac{2e^{2x}\sin(3x) - 3e^{2x}\cos(3x)}{4} - \frac{9}{4} \int e^{2x}\sin(3x)dx\)
\(\int e^{2x}\sin(3x)dx + \frac{9}{4} \int e^{2x}\sin(3x)dx = \frac{2e^{2x}\sin(3x) - 3e^{2x}\cos(3x)}{4}\)
\(\int e^{2x}\sin(3x)dx = \frac{2e^{2x}\sin(3x) - 3e^{2x}\cos(3x)}{13}\)
Calcule a integral abaixo:
\(\int e^{2x}\sin(3x)dx\)
Resolução:
Realizando a integral por partes:
\(u=\sin(3x)\quad du=3\cos(3x)\)
\(dv=e^{2x}\quad v=\frac{e^{2x}}{2}\)
\(\int e^{2x}\sin(3x)dx = \frac{e^{2x}\sin(3x)}{2} - \frac{3}{2} \int e^{2x}\cos(3x)dx\)
Realizando uma nova integral por partes, dessa vez com:
\(u = \cos(3x)\quad du=-3\sin(3x)\)
\(= \frac{e^{2x}\sin(3x)}{2} - \frac{3}{2} \Bigg( \frac{e^{2x}\cos(3x)}{2} + \frac{3}{2} \int e^{2x}\sin(3x)dx \Bigg)\)
\(= \frac{e^{2x}\sin(3x)}{2} - \Bigg( \frac{3e^{2x}\cos(3x)}{4} + \frac{9}{4} \int e^{2x}\sin(3x)dx \Bigg)\)
Igualamos a integral do problema a solução encontrada para subtraí-las:
\(\int e^{2x}\sin(3x)dx = \frac{2e^{2x}\sin(3x) - 3e^{2x}\cos(3x)}{4} - \frac{9}{4} \int e^{2x}\sin(3x)dx\)
\(\int e^{2x}\sin(3x)dx + \frac{9}{4} \int e^{2x}\sin(3x)dx = \frac{2e^{2x}\sin(3x) - 3e^{2x}\cos(3x)}{4}\)
\(\int e^{2x}\sin(3x)dx = \frac{2e^{2x}\sin(3x) - 3e^{2x}\cos(3x)}{13}\)