[Resolução] III.6.2.c

[GAKuabara]

Enunciado:
Calcule a integral abaixo:

\(\int e^{2x}\sin(3x)dx\)

Resolução:

Realizando a integral por partes:

\(u=\sin(3x)\quad du=3\cos(3x)\)

\(dv=e^{2x}\quad v=\frac{e^{2x}}{2}\)

\(\int e^{2x}\sin(3x)dx = \frac{e^{2x}\sin(3x)}{2} - \frac{3}{2} \int e^{2x}\cos(3x)dx\)

Realizando uma nova integral por partes, dessa vez com:

\(u = \cos(3x)\quad du=-3\sin(3x)\)

\(= \frac{e^{2x}\sin(3x)}{2} - \frac{3}{2} \Bigg( \frac{e^{2x}\cos(3x)}{2} + \frac{3}{2} \int e^{2x}\sin(3x)dx \Bigg)\)

\(= \frac{e^{2x}\sin(3x)}{2} - \Bigg( \frac{3e^{2x}\cos(3x)}{4} + \frac{9}{4} \int e^{2x}\sin(3x)dx \Bigg)\)

Igualamos a integral do problema a solução encontrada para subtraí-las:

\(\int e^{2x}\sin(3x)dx = \frac{2e^{2x}\sin(3x) - 3e^{2x}\cos(3x)}{4} - \frac{9}{4} \int e^{2x}\sin(3x)dx\)

\(\int e^{2x}\sin(3x)dx + \frac{9}{4} \int e^{2x}\sin(3x)dx = \frac{2e^{2x}\sin(3x) - 3e^{2x}\cos(3x)}{4}\)

\(\int e^{2x}\sin(3x)dx = \frac{2e^{2x}\sin(3x) - 3e^{2x}\cos(3x)}{13}\)

[PedroAugusto]

Sempre me perco quando temos que ficar usando integração por partes mais de uma vez kkkk. Obrigado pela resolução.

[otavio12]

Valeu, ajudou eu terminar a minha, bem grande essa integral que parecia simples no começo.

[pedro-rossi]

Sempre me perco quando temos que ficar usando integração por partes mais de uma vez kkkk. Obrigado pela resolução.

Eu também me perco! Uma dica é numerar as equações. Toda vez que for começar uma integração por partes, marca um número (1), (2), ... do lado da equação. Assim, você sempre lembra onde voltar!