[Resolução] 11.16.8

[Leonardo_06]

Enunciado: Determine o intervalo de convergência da série \(f(x) = \sum_{n = 0}^\infty \frac{(-1)^n 2^{2n} x^{2n}}{2n!}\) e mostre que satisfaz a EDO \( y'' + 4y = 0\). Além disso, resolva a EDO.

Solução:

Para encontrar o intervalo de convergência, vamos usar o teste da razão, assim:

\( lim_{n\rightarrow \infty} |\frac{(-1)^{n+1}2^{2n+2} x^{2n+2}}{2(n+1)!} . \frac{2n!}{(-1)^n 2^{2n} x^{2n}}|\)

\(= lim_{n\rightarrow \infty} |\frac{(-1)4x^2}{n+1}|\) \(= |-4x^2| lim_{n\rightarrow \infty} |\frac{1}{n+1}|\)

\(= |-4x^2| . 0 = 0 = L < 1\) para cada \(x\).

Assim, \(f(x) = \sum_{n = 0}^\infty \frac{(-1)^n 2^{2n} x^{2n}}{2n!}\) converge para todo \(x\). Portanto o intervalo de convergência é \(- \infty < x < \infty\).

Verificando de satisfaz a EDO: \( y'' + 4y = 0\).

\(f(x) = \sum_{n = 0}^\infty \frac{(-1)^n 2^{2n} x^{2n}}{2n!}\)

\(f'(x) = \sum_{n = 1}^\infty \frac{(-1)^n 2^{2n} 2n x^{2n - 1}}{2n!}\) \(= \sum_{n = 1}^\infty \frac{(-1)^n 2^{2n} x^{2n - 1}}{(2n - 1)!}\)

\(f''(x) = \sum_{n = 1}^\infty \frac{(-1)^n 2^{2n} (2n - 1) x^{2n - 2}}{(2n - 1)!}\) \(= \sum_{n = 1}^\infty \frac{(-1)^n 2^{2n} x^{2n - 2}}{(2n - 2)!}\)

Substituindo na EDO:

\(= \sum_{n = 1}^\infty \frac{(-1)^n 2^{2n} x^{2n - 2}}{(2n - 2)!}\) \(+ 4 \sum_{n = 0}^\infty \frac{(-1)^n 2^{2n} x^{2n}}{2n!}\)

\(= \sum_{n = 0}^\infty \frac{(-1)^{n + 1} 2^{2n + 2} x^{2n}}{2n!}\) \(+ 4 \sum_{n = 0}^\infty \frac{(-1)^n 2^{2n} x^{2n}}{2n!}\)

\(= \sum_{n = 0}^\infty \frac{(-1)^n (-1) 2^{2n} 2^2 x^{2n}}{2n!}\) \(+ 4 \sum_{n = 0}^\infty \frac{(-1)^n 2^{2n} x^{2n}}{2n!}\)

\(= - 4 \sum_{n = 0}^\infty \frac{(-1)^n 2^{2n} x^{2n}}{2n!}\) \(+ 4 \sum_{n = 0}^\infty \frac{(-1)^n 2^{2n} x^{2n}}{2n!}\)

\(= 0\).

Portanto, f(x) satisfaz a EDO \( y'' + 4y = 0\).

\( y'' + 4y = 0\) é da forma \(y'' + by = 0\)

onde \(b = 4\), \(b = k^2\) o que implica \(k = 2\)

então, a solução geral é dada por:

\(y = \alpha * Cos 2x + \beta * Sin 2x\) com \(\alpha, \beta \in \mathbb{R}\).