[Resolução] 11.16.15
Posted: 01 Dec 2022 17:48
RESOLUÇÃO:
Primeiramente, temos:
\[ y = \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n \quad \implies \quad y' = \sum_{n=1}^{\infty} n a_n x^{n-1} = \sum_{n=0}^{\infty} (n+1)a_{n+1} x^n. \]
E portanto,
\begin{align*} && y' &= \alpha y \\[9pt] \implies && \sum_{n=0}^{\infty} (n+1)a_{n+1} x^n &= \alpha \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n. \end{align*}
Igualando potências iguais de x obtemos a relação recursiva:
\[ a_{n+1} = \frac{\alpha \cdot a_n}{n+1}, \qquad a_0 = 1. \]
Por indução,
\[ a_n = \frac{\alpha}{n!} \]
Portanto
\[ y = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{\alpha}{n!} x^n. \]
Primeiramente, temos:
\[ y = \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n \quad \implies \quad y' = \sum_{n=1}^{\infty} n a_n x^{n-1} = \sum_{n=0}^{\infty} (n+1)a_{n+1} x^n. \]
E portanto,
\begin{align*} && y' &= \alpha y \\[9pt] \implies && \sum_{n=0}^{\infty} (n+1)a_{n+1} x^n &= \alpha \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n. \end{align*}
Igualando potências iguais de x obtemos a relação recursiva:
\[ a_{n+1} = \frac{\alpha \cdot a_n}{n+1}, \qquad a_0 = 1. \]
Por indução,
\[ a_n = \frac{\alpha}{n!} \]
Portanto
\[ y = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{\alpha}{n!} x^n. \]