[Resolução] 11.16.15

[PedroAugusto]

RESOLUÇÃO:

Primeiramente, temos:

\[ y = \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n \quad \implies \quad y' = \sum_{n=1}^{\infty} n a_n x^{n-1} = \sum_{n=0}^{\infty} (n+1)a_{n+1} x^n. \]

E portanto,

\begin{align*} && y' &= \alpha y \\[9pt] \implies && \sum_{n=0}^{\infty} (n+1)a_{n+1} x^n &= \alpha \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n. \end{align*}

Igualando potências iguais de x obtemos a relação recursiva:

\[ a_{n+1} = \frac{\alpha \cdot a_n}{n+1}, \qquad a_0 = 1. \]

Por indução,

\[ a_n = \frac{\alpha}{n!} \]

Portanto

\[ y = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{\alpha}{n!} x^n. \]