SOLUÇÃO:
Sabemos que para |x|< 1 nós temos as seguintes expansões
\(log(1+x)=\sum_{n=0}^{\infty }\frac{(-1)^{n}x^{n+1}}{n+1}\\
log(1-x)=\sum_{n=0}^{\infty }\frac{n^{n+1}}{n+1}
\)
Então temos:\(log\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}=\frac{1}{2}(log(1+x)-log(1-x))\\
= \frac{1}{2}(\sum_{n=0}^{\infty }\frac{(-1)^{n}x^{n+1}}{n+1}+\sum_{n=0}^{\infty }\frac{n^{n+1}}{n+1})\\=\frac{1}{2}(2.\sum_{n=0}^{\infty }\frac{x^{2n+1}}{2n+1})\\=\sum_{n=0}^{\infty }\frac{x^{2n+1}}{2n+1}
\)
como queríamos mostrar