Determine the radius of convergence r of the power series:
\( \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n (z+1)^n}{n^2+1}\)
Resolução:
Para determinar o raio de convergência de uma série de potência, temos pelo teste da razão que :
\( \lim\limits_{n\rightarrow\infty} = \frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim\limits_{n\rightarrow\infty} \frac{(z+1)^{n+1}}{(n+1)^2+1} \cdot \frac{n^2+1}{(z+1)^n} \le 1\)
\( \lim\limits_{n\rightarrow\infty} = \frac{(z+1)^n(z+1)}{(z+1)^n} \cdot \frac{n^2+1}{n^2+2n+1} = (z+1) \le 1\)
Portanto \(|z+1|\lt 1\) é o intervalo de convergência, com os extremos -2 e 0 também convergindo pela comparação com \(\frac{1}{n^2} > \frac{(z+1)^n}{n^2+1}\), logo o raio de convergência = 1.