[Resolução] 11.13.6
Posted: 05 Nov 2022 12:04
Enunciado: Dada a seguinte série de potência:
\(f(n) = \sum_{n = 1}^\infty \dfrac{2^n x^n}{n}\)
Responda as seguintes questões:
(a) Determine para quais valores de x a série converge
(b) Determine o valor da soma da série em questão
Primeiramente, aplicamos o teste da razão:
\(L = \lim_{n \to \infty} \tfrac{|a_n+1|}{|a_n|} = \lim_{n \to \infty} \dfrac{(2|x|)^{n+1}}{n+1} * \dfrac{n}{(2|x|)^n} = \lim_{n \to \infty} \dfrac{|2x|n}{n+1} = 2|x|\).
Perceba que a série converge para \( L < 1 \). Logo, converge para \( |x|< \dfrac{1}{2}\)
Note que, para \( x = \dfrac{1}{2} \) obtemos a série harmônica, que diverge
E para \(x = - \dfrac {1}{2}\), obtemos a série harmônica alternada, que converge
Logo, a série converge para \(x \in [-\dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{2})\)
Agora, vejamos a soma da série:
\( S(x) = \sum_{n = 1}^\infty \dfrac{(2x)^n}{n} \Rightarrow \\
S'(x) = \sum_{n = 1}^\infty (2x)^{n-1} = \sum_{n = 0}^\infty (2x)^n = \dfrac {2}{1-2x} \Rightarrow \\
S(x) = \int_{0}^{x} \dfrac {2}{1-2t}\, dt = -log(1-2x)\)
Portanto,
a) converge para \(x \in [-\dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{2})\)
b) \(S(x) = -log(1-2x)\)
\(f(n) = \sum_{n = 1}^\infty \dfrac{2^n x^n}{n}\)
Responda as seguintes questões:
(a) Determine para quais valores de x a série converge
(b) Determine o valor da soma da série em questão
Primeiramente, aplicamos o teste da razão:
\(L = \lim_{n \to \infty} \tfrac{|a_n+1|}{|a_n|} = \lim_{n \to \infty} \dfrac{(2|x|)^{n+1}}{n+1} * \dfrac{n}{(2|x|)^n} = \lim_{n \to \infty} \dfrac{|2x|n}{n+1} = 2|x|\).
Perceba que a série converge para \( L < 1 \). Logo, converge para \( |x|< \dfrac{1}{2}\)
Note que, para \( x = \dfrac{1}{2} \) obtemos a série harmônica, que diverge
E para \(x = - \dfrac {1}{2}\), obtemos a série harmônica alternada, que converge
Logo, a série converge para \(x \in [-\dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{2})\)
Agora, vejamos a soma da série:
\( S(x) = \sum_{n = 1}^\infty \dfrac{(2x)^n}{n} \Rightarrow \\
S'(x) = \sum_{n = 1}^\infty (2x)^{n-1} = \sum_{n = 0}^\infty (2x)^n = \dfrac {2}{1-2x} \Rightarrow \\
S(x) = \int_{0}^{x} \dfrac {2}{1-2t}\, dt = -log(1-2x)\)
Portanto,
a) converge para \(x \in [-\dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{2})\)
b) \(S(x) = -log(1-2x)\)