[Resolução] 11.13.6

[Gabriel Giovanazzi]

Enunciado: Dada a seguinte série de potência:
\(f(n) = \sum_{n = 1}^\infty \dfrac{2^n x^n}{n}\)

Responda as seguintes questões:

(a) Determine para quais valores de x a série converge

(b) Determine o valor da soma da série em questão

Primeiramente, aplicamos o teste da razão:

\(L = \lim_{n \to \infty} \tfrac{|a_n+1|}{|a_n|} = \lim_{n \to \infty} \dfrac{(2|x|)^{n+1}}{n+1} * \dfrac{n}{(2|x|)^n} = \lim_{n \to \infty} \dfrac{|2x|n}{n+1} = 2|x|\).

Perceba que a série converge para \( L < 1 \). Logo, converge para \( |x|< \dfrac{1}{2}\)

Note que, para \( x = \dfrac{1}{2} \) obtemos a série harmônica, que diverge

E para \(x = - \dfrac {1}{2}\), obtemos a série harmônica alternada, que converge

Logo, a série converge para \(x \in [-\dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{2})\)

Agora, vejamos a soma da série:

\( S(x) = \sum_{n = 1}^\infty \dfrac{(2x)^n}{n} \Rightarrow \\

S'(x) = \sum_{n = 1}^\infty (2x)^{n-1} = \sum_{n = 0}^\infty (2x)^n = \dfrac {2}{1-2x} \Rightarrow \\

S(x) = \int_{0}^{x} \dfrac {2}{1-2t}\, dt = -log(1-2x)\)

Portanto,

a) converge para \(x \in [-\dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{2})\)

b) \(S(x) = -log(1-2x)\)