Mostrar que, para |x| < 1, \(\sum\limits_{n =1}^{\infty} n^2x^n = \frac{x^2+x}{(1-x)^3}\)
Sabendo a soma da série geométrica, podemos chegar ao mesmo resultado com algumas manipulações
\(\sum\limits_{n =0}^{\infty} x^n = \frac{1}{1-x}\) para |x| < 1
derivando e multiplicando por x:
\(\sum\limits_{n =0}^{\infty} nx^n = \frac{x}{(1-x)^2}\)
repetindo o processo
\(\sum\limits_{n =0}^{\infty} n^2x^n = \frac{x^2+x}{(1-x)^3}\)
como \(n^2x^n, n = 0\) é igual a zero, o termo para n = 0 não altera o somatório, logo:
\(\sum\limits_{n =1}^{\infty} n^2x^n = \frac{x^2+x}{(1-x)^3}\)