[Resolução] 10.16.2

[pedromonici]

Enunciado:
Teste a convergência ou divergência para a série e explique o motivo

\( \sum_{1}^{\infty}\frac{(n!)^2}{2^{n^2}} \)

Resolução:
Pelo Critério da Razão:

\( \begin{align*} \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} &= \lim_{n \to \infty} \left( \frac{(n+1)!^2}{2^{(n+1)^2}} \right) \left( \frac{2^{n^2}}{(n!)^2} \right) \\[9pt] &= \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^2}{2^{2n+1}} \\[9pt] &= 0 < 1. \end{align*}\)

Então, a série converge.