Enunciado:
Testar se a série converge ou diverge, e justificar.
\(
\sum_{n = 0}^{\infty}\int_{0}^{1/n} \frac{\sqrt{x}}{1 + x^2}\,dx
\)
Para n ≥ 2, temos que:
\(
\int_{0}^{1/n} \frac{\sqrt{x}}{1 + x^2}dx < \frac{1}{n}\frac{\sqrt{\frac{1}{n}}}{1+(\frac{1}{n})^2}
\)
Sabendo que \( \frac{ \sqrt{x}}{1 + x^2} \) decresce em \( [0, \frac{1}{3}] \), podemos dizer que:
\(
\int_{0}^{1/n} \frac{\sqrt{x}}{1 + x^2}dx < \frac{1}{n}\frac{\sqrt{\frac{1}{n}}}{1+(\frac{1}{n})^2} = \frac{1}{n^\frac{3}{2} + \frac{1}{\sqrt{n}}} <\frac{1}{n^\frac{3}{2}}
\)
E, sabendo que \( \frac{1}{n^\frac{3}{2}}\) converge, pois \( \frac{3}{2} > 1\), temos que:
\(
\sum_{n = 0}^{\infty}\int_{0}^{1/n} \frac{\sqrt{x}}{1 + x^2}\,dx
\) também converge.